因此，在心靈適應了這些判斷與校正方法，同時發現使兩個形表現出我們之所以認為是相等的這一現象的那個共同的比例，當然也使這兩個形相互符合，并且在與比量它們的任一變同尺度相符合的時候，我們便由精密的與粗略的這樣兩種方法的比較中得出一個有關相等的混合概念。但是我們不會就此滿足。因為，健全的理性讓我們確信，除了于感官前所呈現出的物象之外，還有比它們小很多的物體；但同時理性又不得不讓我們確信，還有無限小的物體；所以我們便清楚地意識到，不存在任何能夠讓自己免于一切的錯誤和消除不確定的度量的工具或技術。我們還清楚地知道，不論是在現象中抑或是在度量時，對于增加或減少這種微小的部分的某一個是覺察不出的；而因為我們設想在經過了增加或者減少的原來相等的兩個形，它們不可能再次相等所進行的想象，因而我們又假定了一種相等標準，以便能夠使精確地校正種種現象與度量各種比例，并把不同的形全部歸納到那個比例中。很明顯，這個標準是我們假想出來的。因為，既然相等觀念自身是根據并列與共有尺度所校正過的一個特殊現象的觀念，所以除了可以利用工具、技術進行校正的方式，其他所有的校正概念都是既無法理解，又沒有任何效用的，只不過是系于心靈的一種虛構罷了。雖然這個標準只是一個假想，但是虛構得很自然；而且即便中止了原本促使心靈進行一切活動的理由，心靈還是會以這樣的方式不斷持續下去，這也是一種常見現象。時間方面，這一點尤為明白。盡管我們還沒有有關時間方面的能夠度量各部分比例的精確方法，這里的精確程度還不如廣袤方面的；可是測量標準的各種校正作用及其精確程度，卻往往會給我們一個模糊和默認的完全相等的概念。同樣的情況存在于許多其他題材中。一個音樂家發覺自己的聽覺逐漸地變得敏銳、精細，同時注意經常校正和反省自己，所以就算自己處于對題材無能為力的狀況下，依然能夠繼續同樣的心理活動，并覺得自己對于第三音或者第八音的概念的理解也還是全面的，雖然他自己不知道他的標準來自何處。一個畫家在顏色上也使用了這樣的虛構方法。一個機匠對于運動同樣如此，畫家假想明與暗，機匠假想快與慢，都覺得存在一種超越了感官判斷的精確的相等與比較。
同樣的推理也能被我們應用在曲線和直線上。對于感官，最為明顯的對比莫過于曲線和直線的區別了，這些對象的觀念也是我們最易于形成的。但是，無論我們多么易于形成這些觀念，卻舉不出任何能夠確定它們準確界限的定義來。對于我們在紙上或者連續面上畫出的那些線條，它們會以一定的秩序完成從一點到另一點的移動。所以它能夠產生一條直線或者曲線的完整印象；但是我們卻完全不知道這種秩序，觀察到的是一種合成的現象。所以，即使以不可分的點的理論作為依據，這些對象在我們心中所形成的只不過是一個不知道標準的模糊概念。如果我們以無限可分說作為依據，可能我們就不會走到這么遠的地步，只能依據一般的現象，把它作為判斷一些線條是曲線還是直線的標準。對于這些線條，雖然我們還不能提出任何較為完善的定義，同時也舉不出一個非常準確的方法來對一條線和另外一條線進行區別；但這不會對我們作更精確的考究產生影響，并用經由我們多次試驗覺得其具有可靠的一個準則來進行比較，使最初的現象得到校正。因為這些校正以及在心靈已經沒有理性充當其依據時仍然要持續同種活動，對于這些形，我們便因此形成一個具有完善準則的模糊觀念，即使我們無法說明或理解。
對于數學家們所說的“直線即兩點之間最短的路線”，的確，這是由自以為是的他們下的一個精確的直線定義。但首先我要強調的是，這并非直線的正確定義，更恰當地說，應該是有關它的一個特性的發現。因為在對任何人提到直線時，他當即想到的是那么一個的特殊現象，偶然間才會想起這種特性。我們可以很好地理解單獨的一條直線，但如果我們沒有把它與被我們想象成較長的那些其他線條進行比較的話，這個定義就無從理解。生活中往往存在著一個已經被確立的原理——最直的路線都是那些最短的路線；如果我們的直線觀念與上述直線觀念并沒有什么不同的話，這就與兩點之間最短的路線就是直線說法一樣荒謬。
其次，我再說一遍我已經確定了的說法，即我們不僅沒有精確的曲線或者直線的觀念，同時也沒有精確的相等或者不等以及較短、較長的觀念；因此，后者絕對不會為我們提供一個有關前者的完善標準。永遠不能把一個精確的觀念確立在那種模糊、不確定的觀念上。
和直線的觀念一樣，平面的觀念亦不可能有一個十分精確的標準，對于判別這樣一個平面的方法，除了平面的普遍現象，我們就再無其他任何方法。數學家們所說的“一條直線的移動產生了平面”，實際上這是無效的。我們可以馬上提出反對觀點：我們的平面觀念并不取決于形成平面的這種方法，正如我們的橢圓形觀念不是取決于錐形的觀念一樣；平面觀念也不一定比直線觀念更加精確；在一條直線進行不規則地移動時，形成的有可能是一個與平面截然不同的形；因此，我們假設的條件必須是這條直線要沿著相互平行、且在同一平面上的直線移動；這就達到了利用事物本身來證明這個事物的一個循環論證的說法。
由此來看，對于幾何學中直線與平面、相等與不相等那樣一些最根本的觀念，從我們想象它們時所采用的一般方法來看，這些觀念遠遠不是確切和肯定的。不僅在我們對于其產生質疑時無法說出：那些特殊的形何時是相等的，那條線何時是一條直線以及那個面何時是一個平面；而且我們也不能形成對于那個比例以及這些形的任何穩定、不變的觀念。我們仍然只能把希望寄托在我們依賴對象的現象所產生的、并以圓規或者共同尺度進行校正的那個脆弱無力且易錯的判斷。我們要是再假設進一步的校正的話，那么這一假設的校正如果不是沒用的，就是假想的。如果我們選擇了那種一般說法，引用一個有關神的假設，認為無所不能的神既可以讓它產生一個完善的幾何的形的同時，又能畫出一條不曾彎曲的直線——這亦是徒然。既然這些形的最終標準只是來自感官和想象，所以如果在這些官能的判斷所涉及的程度以外再去談論任何完善性，那豈不是荒謬？因為所有事物真正的完善性在于符合它的標準。
我要向每一位數學家發問，既然這些觀念是如此的模糊和不確定，那么他無論對于數學中那些比較艱澀難懂的命題，還是對于一些最通俗、最淺顯的原理，又有怎樣準確無誤的信據呢？比如說，他如何向我證明，兩條直線沒有一個共同的線段？又怎么證實，不能在任何兩點之間畫出的直線數目在一條以上呢？如果他回答說，這些觀點與我們所清晰了解的觀念相違背，顯然是錯誤的。那么我的回答就會是，當兩條直線因相互傾斜而產生了一個較為明顯的角度時，要求想象那兩條線有一個共同的線段肯定是錯誤的，對于這個說法我并不否認。但是假定這兩條線以差一英寸不到六十英里的傾斜度彼此相互靠近，結果當這兩條線在接觸的過程中將會逐漸變成一條線，對此我便沒有覺察出有何錯誤。因為，當我問你時，你的回答是，假定兩條線相合而成的那條線，不可能和含有一個極小的角度的兩條直線所形成的那條直線一樣，這時候你的判斷準則或標準是什么呢？你會有和這一條線不一致的某種直線觀念。那么你的話是否意味著，一條線中點的排列順序以及它們所依據的規則，不同于一條直線所遵循的、同時也是它的根本條件的那個順序與規則？如果事實果真如此，那么我就得告訴你，若是按照這種方式加以判斷，你就已經認同了廣袤是根據不可分的點組合而成的（當然，這一定超出了你的本意），此外，我還要告訴你的是，它也不是形成一條直線觀念時我們所依據的判斷標準；即便如此，對于我們的感官或者想象的穩定性來說，也不可能大到足以準確判斷出那個秩序什么時候遭破壞了、什么時候被保存了。其實直線的原始標準只不過是某種一般的現象；雖然這是一個經過了所有現實的或想象的方法校正的標準，我們仍然能夠使直線的相合部分繼續和這個標準相符合。
（無論數學家們轉到哪個方向，同樣會遇到這樣的困難。他們如果采用的是一個精密、確切的標準——計數微小的和不可分的部分，來對是否相等或者其他比例進行斷定和評判，那么他們既是真正以一個無效的標準來判斷，而又無形中建構了他們所力圖破壞的廣袤部分的不可分說。他們如果按照以往的做法，在某些一般現象的對象之間對比的結果中推出的一個粗略的標準，把它拿來應用，并且以度量與并列的方法進行校正；雖然他們那些最初的原則的確是準確無誤的，但還是太粗略了，其判斷能力不足以為他們提供這部分內容需要的那些精確的推論。這些最初原則是在感官與想象方面建立起來的。由此可知，結論不能夠超越這些官能的范圍，更不可以與其抵觸。）這樣可以進一步開拓我們的眼界，還能讓我們知道，廣袤無限可分性的一切幾何的論證，并沒有像我們理所當然認為的那些以輝煌名義作為堅強后盾的每一個論證一樣，具有那么強大的力量。同時，我們還可以獲知，為何幾何學的任何其他的推理都可得到我們的徹底的贊同和認可，而單單在這一問題上卻顯得證據不足。的確，我們現在要做的應該是找出這個例外出現的理由，并認定無限可分說采用的所有數學論證都是徹底詭辯，而不是指出我們實際上非要作出這樣一個例外。因為，既然一切數量觀念都不是無限可分的，那么要企圖說明那個數量自身接受那樣一種分割，同時也要通過在這方面與它截然相反的那些觀念來進行證明，很顯然是錯誤的了。這種錯誤本身已是很明顯了，那么對于把它當作基礎的那些論證必定存在明顯的矛盾，所以一定還會有新的錯誤產生。
我還能夠給出一部分由接觸點得來的有關無限可分性的論證來作為例證。我知道，任何數學家都不喜歡僅憑紙上所畫出的圖形就對其進行判斷的這樣一種形式，他會解釋說，這些圖形不過是一些粗略的草稿，只是比較簡單地說明了作為一切推理的真實基礎的我們的部分觀念。我十分同意這一說法，同時甘愿把爭論僅限于這些觀念之上。因此，我希望數學家們在一個圓和一條直線的形成觀念方面盡量做到精確。接下來我又問，在對兩者的接觸進行想象的時候，他想象的是線與圓在同一個數學點上進行相互間的接觸呢，還是不得不在一段空間中相合上呢？無論他選擇的是哪一種，都將陷于一樣的困境。假如他能肯定地說，他在想象中勾勒這些形的輪廓時，想象到了線與圓僅是在一點上進行接觸，那么也就意味著他承認了那個觀念存在的可能性，也就是那個對象存在的可能性。如果他還說，在他想象那些線條相互接觸的時候，只能令其相合，那他也就認同了幾何學證明過程在進展到超越了某種微小程度之時，出現了錯誤；因他的確有否認一個圓與一條線相合的那些證明，換言之，就是他同時也可以證實一個觀念，相合的觀念與另外的兩個觀念，即一個圓和一條直線是不相容的，雖然他同意這些觀念是不可分開的這一說法。
第五節關于反駁的答復（續）
我的體系的第二部分內容如下：空間或廣袤觀念不過是置身于某一秩序中的那些可觸知的點或可見的點的一種觀念；如果這一部分沒有什么錯誤，那么便可作此結論：我們無法形成一個真空的觀念，同時也無法形成一個沒有可觸知或可見的東西在內的空間觀念。這一說法招致了三種反駁，我將對其一并考察，因為在我看來，我對一個反駁作出的答復恰恰就是我用以作為其他反駁的答復的總結。
第一，也許有人會說，很多年以來人們一直對真空與充實進行不休地爭論，但依然沒有使這個問題得到最終解決；即便是在今天，哲學家們還是想當然地覺得可以依想象隨意站在某一方面。然而，還會有人說，不管這種爭論基于何種基礎，關于事物的自身，實際上那種爭論本身就已經確定了那個觀念；假如人們對于自己所擁護或反駁的真空沒有任何概念，那么他們便無法那樣長時間地對真空進行推理、反駁或擁護。