1.4 概率函數(shù)的性質

由概率公理可推導出概率函數(shù)的如下性質.

定理1.2 對事件A和B，下列性質成立：

1.P[Ac]=1-P[A].

2.P[?]=0.

3.P[A]≤1.

4.單調不等式：若A?B，則P[A]≤P[B].

5.容斥原則（inclusion-exclusion principle）：P[A∪B]=P[A]+P[B]-P[A∩B].

6.布爾不等式：P[A∪B]≤P[A]+P[B].

7.Bonferroni不等式：P[A∩B]≥P[A]+P[B]-1.

證明見1.15節(jié).

性質1表明某事件不發(fā)生的概率等于1減去該事件發(fā)生的概率.

性質2表明“沒有事件發(fā)生”的概率是0.（在被問到“課上發(fā)生了什么時”，請牢記這一點.）

性質3表明概率不能超過1.

性質4表明較大的事件集發(fā)生的概率較大.

性質5是計算兩個事件的并時的一個有用的分解.

性質6和性質7蘊含在容斥原則中，在概率計算中經(jīng)常使用.布爾不等式表明事件并的概率小于或等于單個事件概率之和. Bonferroni不等式表明事件交的概率大于或等于單個事件概率的函數(shù).這些不等式的一個有用特征是不等號右邊只依賴單個事件的概率.

進一步，一個與性質2相關的定義是任何以概率0或1發(fā)生的事件稱為平凡的（trivial）.這種事件本質上是非隨機的.在拋一枚硬幣的試驗中，定義樣本空間{H, T, Edge, Disappear}，其中“Edge”表示硬幣沿著邊緣立住，“Disappear”表示硬幣消失在空中.若P[Edge]=0且P[Disappear]=0，則這些事件是平凡的.