1.3 概率函數(shù)

定義1.2 若函數(shù)P把事件[1]映射到一個(gè)數(shù)值，且滿足下述概率公理（axiom of probability）：

1.P[A]≥0.

2.P[S]=1.

3.若A1, A2,···互不相交，則.

則稱函數(shù)P為概率函數(shù)（probability function）.

在本書中，利用記號(hào)P[A]表示事件A發(fā)生的概率.其他常用的記號(hào)有P（A）或Pr（A）.

讓我們來檢查該定義.“函數(shù)P將事件映射到一個(gè)數(shù)值”表示P是定義在事件上，映射到實(shí)數(shù)軸的函數(shù).因此，概率是數(shù).現(xiàn)考慮公理.公理1表明概率是非負(fù)的.公理2本質(zhì)上是概率的規(guī)范性：全集發(fā)生的概率為1.

公理3規(guī)定了一種重要的結(jié)構(gòu)，它表明概率在不相交的事件上是可加的，即若A和B是不相交的，則

P[A∪B]=P[A]+P[B]

例如，在擲一個(gè)六面骰子的試驗(yàn)中，可能的結(jié)果為{1, 2, 3, 4, 5, 6}.由于結(jié)果是互不相交的，根據(jù)公理3，P[1或2]=P[1]+P[2].

需要特別注意，公理3只適用于不相交事件.例如，在擲一對(duì)骰子試驗(yàn)中，令事件A表示“第一個(gè)骰子的1正面朝上”，事件B表示“第二個(gè)骰子的1正面朝上”.如果記P[“任一骰子1正面朝上”]=P[A∪B]=P[A]+P[B]，則第二個(gè)等號(hào)是不成立的，因?yàn)?i>A和B的交集非空：結(jié)果“兩個(gè)骰子均是1正面朝上”既是A又是B的元素.

任一滿足三條公理的函數(shù)P都是一個(gè)合理的概率函數(shù).在拋一枚硬幣的試驗(yàn)中，令P[H]=0.5且P[T]=0.5（通常稱為一個(gè)公平硬幣），則函數(shù)P是一個(gè)合理的概率函數(shù).另一個(gè)合理的概率函數(shù)可設(shè)P[H]=0.6且P[T]=0.4.然而，設(shè)P[H]=-0.6不是合理的（違背了公理1）.設(shè)P[H]=0.6和P[T]=0.6也不是合理的（違背了公理2）.

盡管概率的定義給出了概率函數(shù)必須滿足的條件，但是并沒有描述概率的含義（meaning）.這是因?yàn)楦怕视卸喾N解釋.一種觀點(diǎn)認(rèn)為，在受控實(shí)驗(yàn)中，概率是試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)頻率（relative frequency）.股市上漲的概率是上漲的頻率.失業(yè)時(shí)間超過一個(gè)月的概率是失業(yè)時(shí)間超過一個(gè)月的頻率.籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率是該運(yùn)動(dòng)員罰球命中的頻率.衰退發(fā)生的概率是衰退發(fā)生的頻率.在某些例子中，由于試驗(yàn)是可重復(fù)的或結(jié)果多次發(fā)生，故這種概率的定義是直觀的.但在其他情況下，試驗(yàn)只能進(jìn)行一次且無法重復(fù).例如，在寫這一段落時(shí)，人們普遍關(guān)心的不確定性問題包括：“全球變暖會(huì)超過2℃ 嗎？”“COVID-19流行病何時(shí)結(jié)束？”在這些情況下，由于結(jié)果只能發(fā)生一次，很難把概率解釋為頻率.通過想象在相同的初始條件下，在不同宇宙進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，從而抽象地看待“相對(duì)頻率”來挽救這種解釋.雖然這種解決方案技術(shù)上是可行的，但并不能讓人完全滿意.

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為概率是主觀的，把概率解釋為可信度（degree of belief）.“明天下雨的概率是80%”是我根據(jù)所掌握的信息，對(duì)明天下雨的可能性做出個(gè)人主觀評(píng)估.由于信念是任意的，該觀點(diǎn)似乎過于寬泛.主觀解釋要求主觀概率遵循概率公理和規(guī)則，主要缺點(diǎn)是不一定適合于科學(xué)論述.

上述兩種觀點(diǎn)定義的概率函數(shù)都需要滿足相同的概率公理，否則就不能使用“概率”這個(gè)概念.

下面考慮兩個(gè)真實(shí)世界的例子來說明這個(gè)概念.第一個(gè)例子來自金融市場(chǎng).用U表示指定某周S&P500指數(shù)增長(zhǎng)，D表示該指數(shù)降低.這與拋硬幣試驗(yàn)類似，樣本空間為{U, D}.計(jì)算P[U]=0.57, P[D]=0.43[2].增長(zhǎng)的概率是57%，比公平硬幣正面朝上的概率高一些.可解釋為在隨機(jī)選擇的所有“周”中，57%的周指數(shù)會(huì)增長(zhǎng).

第二個(gè)例子考慮美國(guó)工資水平.以隨機(jī)選擇的工薪族為例.令H表示事件某人工資超過25美元/小時(shí)，L表示事件某人工資低于25美元/小時(shí).這與拋硬幣試驗(yàn)類似.計(jì)算P[H]=0.31, P[L]=0.69[3].為了解釋這個(gè)概率，想象隨機(jī)調(diào)查一個(gè)人.在調(diào)查之前，對(duì)這個(gè)人一無所知，故他的工資是不確定的和隨機(jī)的.