一  基本知識

什么是幾何計算題

1950年華東區大學統一招生的數學入學試題里面曾經有過這樣的一個問題：

“正五角星形的五個頂角各是多少度？”

所謂正五角星形就是我們中華人民共和國的國旗上的標幟，同學們對它都是非常熱愛的。關于正五角星形的性質，在《幾何作圖》一書里已經講到了一些，讀過的同學們一定都很熟悉，上舉的問題也就不難解答了。

要解決上舉的問題，必須先知道正五角星形是從一個正五角形的5條對角線所圍成的，其實是一個“凹十角形”。它有10條相等的邊——AF、FB、BG、GC、CH等；5個相等的頂角——∠JAF，∠FBG等；5個相等的“叉角”——∠AFB，∠BGC等。它同正五角形一樣，也有一個外接圓，各頂點分這外接圓成五等分。從這些性質以及我們以前學過的許多幾何定理，就可以用下舉的兩種解法，來求正五角星形的頂角的度數。

解法一  因⌒CD是全圓周的1/5，所以

⌒CD=(1/5)×360°=72°

又因∠JAF是⌒CD所對的圓周角，從圓周角的定理，知道這一個角可以拿?⌒CD來度它，所以

∠JAF=?×72°=36°

同理，其他的各頂角也都是36°。

解法二  從三角形的外角定理，知道

∠AJF=∠B+∠D（為便利計，∠FBG簡稱∠B，以下同）

∠AFJ=∠C+∠E。

但又從三角形的內角定理，得

∠A+∠AJF+∠AFJ=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

又因正五角星形的五個頂角都相等，所以

5∠A=180°，∠A=36°。

其余同理。

注  從上舉的解法，我們知道要求圓中其他各角的度數，都很容易。像∠BAF、∠ABF等都是36°，∠AFJ、∠AJF等都是72°，∠AFB、∠BGC等都是108°。圖中所有角，除掉大于180°的優角外，不出這三種度數，這三種度數——36°、72°、108°——恰巧順次成為一串“等差級數”。

講過了這一個問題的解法，我們為了要對這可愛的正五角星形做更進一步的認識，這里再提出如下的一個新問題：

“已知正五角星形中相鄰兩頂點的距離是2寸，求（1）邊長；（2）相鄰兩叉點的距離——JF、FG等；（3）相對兩頂點的距離——BE、AC等。”

要解決這一個問題，必須進一步認識前圖中所有的一切三角形都是等腰三角形。在這些等腰三角形中，頂角是36°，底角是72°的有20個，它們都相似，其中的△AFJ等的5個全等，△ACD等的5個全等，△ABG等10個全等；頂角是108°，底角是36°的有15個，也都相似，其中的△ABF等5個全等，△ABE、△HBE等十個全等。

從“相似三角形的對應邊成比例”的定理，注目△BAJ和△AJF，得BA:AJ= AJ:JF

因BA=BJ，AJ=BF，代入上式，得

BJ:BF=BF:JF（Ⅰ）

又注目△ABE和△FAB，得BE:AB=AB:FA

因AB=BJ，FA=JE，代入上式得

BE:BJ=BJ:JE（Ⅱ）

上舉公式（Ⅰ）所表示的是線段BJ被F點所分，其中的長線分BF是短線分JF和全線BJ的比例中項，我們稱做線段BJ被F分成“外中比”。同理，公式（Ⅱ）所表示的是線段BE被J分成外中比。

注  前圖中所有的一切線段，不出四種長度，最長的像BE，AC等五條，可簡稱做“對頂距”，用α表示；較短的像AB，BC等，可簡稱做“鄰頂距”，連同相等的BJ，AG等共計十五條，都用b表示；更短的像BF，JE等十條是邊，用c表示：最短的像JF，FG等五條，可簡稱做“鄰叉距”，用d表示，因從（Ⅰ）和（Ⅱ）知道

α:b=b:c=c:d

所以這4種長度順次恰成一串“等比級數”。

根據這些性質，可用下法解前舉的新問題：

解  設邊長BF=x寸，因已知BJ=AB=2寸，所以JF=(2-x)寸，根據公式（Ⅰ），得比例式2:x=x:(2-x)

化為等積式，移項，得二次方程式x2+2x-4=0 。

解得

因負值不適用，故得邊長是-1+√5≈①（①≈是“近似”的記號。）-1+2.236=1.236寸。鄰叉距是2-1.236=0.764寸。

又設對頂距2-1.236=0.764寸，因已知BJ=AB=2寸，故寸。根據JE=(y-2)公式（Ⅱ），得比例式y:2=:(y-2)

化為等積式，再移項，得y2-2y-4=0

解得

同前，得對頂距是1+√5≈1+2.236=3.236寸。

在上面所述的兩個問題中，所有的角、弧和線段，都是有大小可以度量的，叫做幾何量。我們要度量一個幾何量，必須先取一適當的同類量做單位——像“度”“寸”等，用這單位來量欲測的幾何量，看它含這單位量的多少倍。這倍數就是欲測的量對于單位量的比值，叫做“該量的測度”。例如線段的單位用寸，假使一線段的大小是1寸的2倍，就是這線段對于1寸的線段的比值是2，那么這線段的測度就是2。

有些幾何圖形，可以根據已知的性質或幾何定理，求出其中的某些幾何量的測度，像前舉的第一問題就是。又有些幾何圖形，必須有一部分幾何量的測度為已知，才能根據已知的性質或幾何定理，求出另一部分的測度，像前舉的第二問題就是。這樣的兩種問題，都是幾何學中的計算題。

同學們都知道，幾何定理就是關于各種幾何圖形的性質的敘述。古代的勞動人民，為了在生產實踐中必須計算各種幾何量，像定方向，測高深，求地積等，于是發現了許多幾何定理，可見幾何學是在生產條件下發生和發展的，它最初是從積累起來的豐富的實際經驗中總結出幾何定理，接著再用理論方式加以證明，最后又拿來供給實際的應用，是理論和實際密切結合的，我們學習幾何計算題，可以把已經學習的幾何定理聯系到實際上去，使學用一致的教育目標更具體，更明確起來。