一  基本知識

什么是幾何計算題

1950年華東區(qū)大學(xué)統(tǒng)一招生的數(shù)學(xué)入學(xué)試題里面曾經(jīng)有過這樣的一個問題：

“正五角星形的五個頂角各是多少度？”

所謂正五角星形就是我們中華人民共和國的國旗上的標幟，同學(xué)們對它都是非常熱愛的。關(guān)于正五角星形的性質(zhì)，在《幾何作圖》一書里已經(jīng)講到了一些，讀過的同學(xué)們一定都很熟悉，上舉的問題也就不難解答了。

要解決上舉的問題，必須先知道正五角星形是從一個正五角形的5條對角線所圍成的，其實是一個“凹十角形”。它有10條相等的邊——AF、FB、BG、GC、CH等；5個相等的頂角——∠JAF，∠FBG等；5個相等的“叉角”——∠AFB，∠BGC等。它同正五角形一樣，也有一個外接圓，各頂點分這外接圓成五等分。從這些性質(zhì)以及我們以前學(xué)過的許多幾何定理，就可以用下舉的兩種解法，來求正五角星形的頂角的度數(shù)。

解法一  因⌒CD是全圓周的1/5，所以

⌒CD=(1/5)×360°=72°

又因∠JAF是⌒CD所對的圓周角，從圓周角的定理，知道這一個角可以拿?⌒CD來度它，所以

∠JAF=?×72°=36°

同理，其他的各頂角也都是36°。

解法二  從三角形的外角定理，知道

∠AJF=∠B+∠D（為便利計，∠FBG簡稱∠B，以下同）

∠AFJ=∠C+∠E。

但又從三角形的內(nèi)角定理，得

∠A+∠AJF+∠AFJ=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

又因正五角星形的五個頂角都相等，所以

5∠A=180°，∠A=36°。

其余同理。

注  從上舉的解法，我們知道要求圓中其他各角的度數(shù)，都很容易。像∠BAF、∠ABF等都是36°，∠AFJ、∠AJF等都是72°，∠AFB、∠BGC等都是108°。圖中所有角，除掉大于180°的優(yōu)角外，不出這三種度數(shù)，這三種度數(shù)——36°、72°、108°——恰巧順次成為一串“等差級數(shù)”。

講過了這一個問題的解法，我們?yōu)榱艘獙@可愛的正五角星形做更進一步的認識，這里再提出如下的一個新問題：

“已知正五角星形中相鄰兩頂點的距離是2寸，求（1）邊長；（2）相鄰兩叉點的距離——JF、FG等；（3）相對兩頂點的距離——BE、AC等。”

要解決這一個問題，必須進一步認識前圖中所有的一切三角形都是等腰三角形。在這些等腰三角形中，頂角是36°，底角是72°的有20個，它們都相似，其中的△AFJ等的5個全等，△ACD等的5個全等，△ABG等10個全等；頂角是108°，底角是36°的有15個，也都相似，其中的△ABF等5個全等，△ABE、△HBE等十個全等。

從“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”的定理，注目△BAJ和△AJF，得BA:AJ= AJ:JF

因BA=BJ，AJ=BF，代入上式，得

BJ:BF=BF:JF（Ⅰ）

又注目△ABE和△FAB，得BE:AB=AB:FA

因AB=BJ，F(xiàn)A=JE，代入上式得

BE:BJ=BJ:JE（Ⅱ）

上舉公式（Ⅰ）所表示的是線段BJ被F點所分，其中的長線分BF是短線分JF和全線BJ的比例中項，我們稱做線段BJ被F分成“外中比”。同理，公式（Ⅱ）所表示的是線段BE被J分成外中比。

注  前圖中所有的一切線段，不出四種長度，最長的像BE，AC等五條，可簡稱做“對頂距”，用α表示；較短的像AB，BC等，可簡稱做“鄰頂距”，連同相等的BJ，AG等共計十五條，都用b表示；更短的像BF，JE等十條是邊，用c表示：最短的像JF，F(xiàn)G等五條，可簡稱做“鄰叉距”，用d表示，因從（Ⅰ）和（Ⅱ）知道

α:b=b:c=c:d

所以這4種長度順次恰成一串“等比級數(shù)”。

根據(jù)這些性質(zhì)，可用下法解前舉的新問題：

解  設(shè)邊長BF=x寸，因已知BJ=AB=2寸，所以JF=(2-x)寸，根據(jù)公式（Ⅰ），得比例式2:x=x:(2-x)

化為等積式，移項，得二次方程式x2+2x-4=0 。

解得

因負值不適用，故得邊長是-1+√5≈①（①≈是“近似”的記號。）-1+2.236=1.236寸。鄰叉距是2-1.236=0.764寸。

又設(shè)對頂距2-1.236=0.764寸，因已知BJ=AB=2寸，故寸。根據(jù)JE=(y-2)公式（Ⅱ），得比例式y(tǒng):2=:(y-2)

化為等積式，再移項，得y2-2y-4=0

解得

同前，得對頂距是1+√5≈1+2.236=3.236寸。

在上面所述的兩個問題中，所有的角、弧和線段，都是有大小可以度量的，叫做幾何量。我們要度量一個幾何量，必須先取一適當?shù)耐惲孔鰡挝弧瘛岸取薄按纭钡龋眠@單位來量欲測的幾何量，看它含這單位量的多少倍。這倍數(shù)就是欲測的量對于單位量的比值，叫做“該量的測度”。例如線段的單位用寸，假使一線段的大小是1寸的2倍，就是這線段對于1寸的線段的比值是2，那么這線段的測度就是2。

有些幾何圖形，可以根據(jù)已知的性質(zhì)或幾何定理，求出其中的某些幾何量的測度，像前舉的第一問題就是。又有些幾何圖形，必須有一部分幾何量的測度為已知，才能根據(jù)已知的性質(zhì)或幾何定理，求出另一部分的測度，像前舉的第二問題就是。這樣的兩種問題，都是幾何學(xué)中的計算題。

同學(xué)們都知道，幾何定理就是關(guān)于各種幾何圖形的性質(zhì)的敘述。古代的勞動人民，為了在生產(chǎn)實踐中必須計算各種幾何量，像定方向，測高深，求地積等，于是發(fā)現(xiàn)了許多幾何定理，可見幾何學(xué)是在生產(chǎn)條件下發(fā)生和發(fā)展的，它最初是從積累起來的豐富的實際經(jīng)驗中總結(jié)出幾何定理，接著再用理論方式加以證明，最后又拿來供給實際的應(yīng)用，是理論和實際密切結(jié)合的，我們學(xué)習(xí)幾何計算題，可以把已經(jīng)學(xué)習(xí)的幾何定理聯(lián)系到實際上去，使學(xué)用一致的教育目標更具體，更明確起來。