第二節(jié)　矩陣的運(yùn)算

要深入探討矩陣概念的作用，就需要研究矩陣的運(yùn)算、性質(zhì)等理論。到1858年，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓（W.R.Hamilton）和凱萊（A.Cay-ley）的著作中最早出現(xiàn)了矩陣的運(yùn)算。本節(jié)我們來介紹矩陣的加法、數(shù)乘與矩陣的乘法等運(yùn)算。

一、矩陣的加法

定義2.3　設(shè)A=（aij）m×n與B=（bij）m×n是兩個(gè)同規(guī)模的矩陣，那么矩陣A與B的和（Addition of matrices）記為A+B，規(guī)定為

由定義不難證明，矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：

性質(zhì)2.1　設(shè)A，B，C是同規(guī)模的矩陣，則

（1）A+B=B+A（加法交換律）；

（2）（A+B）+C=A+（B+C）（加法結(jié)合律）；

（3）A+O=A，其中O是與A同規(guī)模的零矩陣。

二、數(shù)乘矩陣

定義2.4　數(shù)k與矩陣A=（aij）m×n的數(shù)量乘積矩陣，簡稱為數(shù)乘矩陣（Scalar multiplication of matrices），記為kA，規(guī)定為

由定義可知，數(shù)乘矩陣是用數(shù)k乘矩陣的每一個(gè)元素。需要注意的是，在矩陣為方陣時(shí)，數(shù)乘矩陣與數(shù)乘矩陣的行列式是不同的。另外常簡記

（-1）A=-A，　-（-A）=A

-A又叫做A的負(fù)矩陣。由此，兩個(gè)矩陣的減法運(yùn)算可定義為

A-B=A+（-B）

不難證明，矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律：

性質(zhì)2.2　設(shè)A，B是同規(guī)模的矩陣，k，l是常數(shù)，則

（1）1A=A；

（2）k（lA）=（kl）A；

（3）k（A+B）=kA+kB；

（4）（k+l）A=kA+lA；

（5）kA=O，當(dāng)且僅當(dāng)k=0或A=O。

三、矩陣的乘法

矩陣的乘法，是因?yàn)檠芯?span id="zi4lbyx" class="italic">n維向量線性變換的需要而規(guī)定的一種矩陣之間的乘法運(yùn)算。矩陣乘法的特殊性決定了矩陣運(yùn)算必然會(huì)具有一些特殊的性質(zhì)。

定義2.5　設(shè)A=（aij）m×s是m×s矩陣，B=（bij）s×n是s×n矩陣，那么規(guī)定矩陣A與B的乘積（product of matrices）AB是一個(gè)m×n矩陣C=（cij）m×n，其中

　　 （2.4） 　　

記為C=AB。式（2.4）表明，乘積矩陣AB的i行j列位置上的元素是A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。

【例2.2】　設(shè)

求AB，BA。

解　按照矩陣乘法的定義，不難得到

【例2.3】　設(shè)

求AB，BA。

解　按照矩陣乘法，可得

AB=（a1b1+a2b2+…+anbn）=a1b1+a2b2+…+anbn

從本題的結(jié)果可見，上述行矩陣與列矩陣相乘的結(jié)果是1×1的矩陣，也就是一個(gè)數(shù)。而次序反過來，列矩陣與行矩陣相乘的結(jié)果是個(gè)n×n的矩陣，不過這個(gè)矩陣的各行或各列元素都是對(duì)應(yīng)成比例的。

這個(gè)基本結(jié)論是很多矩陣應(yīng)用的基礎(chǔ)。比如，在信息處理中常常把一個(gè)復(fù)雜的矩陣分解為若干個(gè)像上述矩陣那樣簡單的矩陣之和；而在最優(yōu)化學(xué)科中，矩陣的“低秩修正”問題，正是通過上述類型的特殊矩陣來實(shí)現(xiàn)的。

【例2.4】　設(shè)A=（aij）m×n是任意矩陣，而

是m階對(duì)角矩陣，求BA。

解　由矩陣乘法，顯然有

即對(duì)任意矩陣A左乘一個(gè)對(duì)角矩陣，其結(jié)果就是把對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素分別乘到矩陣A的各行對(duì)應(yīng)元素上去。特別的，假如該對(duì)角矩陣就是一個(gè)單位矩陣，則用單位矩陣左乘任意矩陣A，其結(jié)果仍然等于矩陣A本身。

建議大家自己去考慮，對(duì)任意矩陣A用一個(gè)n階的對(duì)角矩陣右乘它，又能得到什么樣不同的結(jié)果呢？

矩陣乘法定義的提出完全是來自于實(shí)際問題的需要，因而矩陣乘積運(yùn)算在很多實(shí)際問題中都有非常廣泛的應(yīng)用。例如，設(shè)有兩個(gè)線性變換

　　 （2.5） 　　

與

　　 （2.6） 　　

它們的系數(shù)矩陣分別是

若想得到用變量x1，x2來表示變量z1，z2的關(guān)系，只要把式（2.6）代入到式（2.5）之中，即有

　　 （2.7） 　　

從變量x1，x2到變量z1，z2的線性變換式（2.7）的系數(shù)矩陣為

這個(gè)系數(shù)矩陣恰好是矩陣A與B的乘積，即有C=AB。這個(gè)結(jié)論請(qǐng)大家去驗(yàn)證。

關(guān)于矩陣乘積，需要注意以下幾點(diǎn)。

1.不是任何兩個(gè)矩陣都可以相乘

從矩陣乘法的定義可見，只要當(dāng)左邊的矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，這兩個(gè)矩陣的乘積才有意義。這種關(guān)系可用下圖來表示

2.矩陣的乘法不滿足交換律

從矩陣乘法的規(guī)定，AB有意義，但BA不一定有意義。當(dāng)AB，BA都有意義時(shí)，兩個(gè)不同次序的乘積矩陣也不一定有相同的規(guī)模，因而更談不上相等。即使AB與BA兩者都有意義并且也有相同的規(guī)模，乘積矩陣往往也是不相等的。

例如

則有 　　

顯然AB≠BA。

可見，矩陣乘積的結(jié)果是跟乘積的次序有關(guān)的。如果兩個(gè)矩陣的乘積滿足AB=BA，則稱A，B是可交換矩陣（Commutable matrices）。

不難證明，數(shù)量矩陣與同階的任何方陣是可交換的。

3.兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣

例如

A≠0，B≠0，但是

對(duì)此，需要特別注意，若兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積等于零，則式中必有零因子。但是這個(gè)所謂的“零因子定律”對(duì)矩陣乘法來說，已不再成立了。

4.矩陣的乘法不滿足消去律

即若

AC=BC，且C≠0

一般推不出A=B。例如

雖然有 　　

但是A≠B。

以上四點(diǎn)說明了矩陣乘法與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算的不同之處，初學(xué)者應(yīng)給予特別注意。但矩陣的乘法運(yùn)算（Multiplication of matrices）仍然有下面這些運(yùn)算規(guī)律：

性質(zhì)2.3　（1）設(shè)A，B，C分別是m×n，n×p，p×q矩陣，則

（AB）C=A（BC）　　（乘法結(jié)合律）

（2）設(shè)A，B，C，D分別是m×n，m×n，n×p，s×m矩陣，則有

（A+B）C=AC+BC　　（右乘分配律）

D（A+B）=DA+DB　　（左乘分配律）

（3）設(shè)A，B分別是m×n，n×p矩陣，k是常數(shù)，則

k（AB）=（kA）B=A（kB）

（4）設(shè)A，B是兩個(gè)n階矩陣，則

｜AB｜=｜A｜｜B｜

證　僅證第（1）式，其余留給讀者自己證明。

設(shè)A，B，C分別是m×n，n×p，p×q矩陣，則易見（AB）C，A（BC）都是m×q矩陣，而且?i，j（i=1，2，…，m；j=1，2，…，q），A（BC）的第i行第j列的元素為

上式右端即為（AB）C的第i行第j列位置上的元素。故結(jié)論成立。

有趣的是，由矩陣乘法結(jié)合律，矩陣等式

（AB）C=A（BC）

總是成立的。但是因?yàn)榫仃?span id="ryrdtyu" class="italic">A，B，C的階數(shù)不同，等式兩邊所需要施行的實(shí)數(shù)的乘法次數(shù)就不同。如果涉及到n個(gè)矩陣相乘，怎樣結(jié)合能夠使得總的乘法次數(shù)最少，這是計(jì)算機(jī)學(xué)科中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析等課程中的一個(gè)經(jīng)典問題。

【例2.5】　設(shè)

求｜AB｜。

　　解　因?yàn)?　　

所以 　　

另一種算法

從而有｜AB｜=｜BA｜。

四、方陣的冪

如果A是n階矩陣（即方陣），有限個(gè)矩陣A的乘積是有意義的，結(jié)果也是確定的。設(shè)m是正整數(shù)，記

叫做A的m次冪（Powers of a matrix）。另外還規(guī)定：A0=E，其中E是n階單位矩陣。

矩陣的冪運(yùn)算有下列性質(zhì)。

性質(zhì)2.4　設(shè)A是n階方陣，k是常數(shù)，m，l是正整數(shù)。則

（1）Am·Al=Am+l；　　（2）（Am）l=Am.l；

（3）｜Am｜=｜A｜m；　　（4）｜kA｜=kn｜A｜。

由于矩陣乘法不滿足交換律，所以一般來講（AB）m≠AmBm，但若A，B是可交換的，那么關(guān)系式（AB）m=AmBm必然成立。證明留給讀者。

【例2.6】　證明

證　對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法。

（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式顯然成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有

從而對(duì)任意的正整數(shù)n，等式成立。證畢。

現(xiàn)在再假設(shè)有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，而A是n階方陣。則稱矩陣

f（A）=a0An+a1An-1+…+an-1A+anE

其中，E是n階單位矩陣，為A的矩陣多項(xiàng)式。

五、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義2.6　稱n×m矩陣

為矩陣A=（aij）m×n的轉(zhuǎn)置矩陣（Transposed matrix），記為A'或AT。

例如

矩陣的轉(zhuǎn)置有下列運(yùn)算規(guī)律。

性質(zhì)2.5　設(shè)A，B是矩陣，它們的行數(shù)與列數(shù)使相應(yīng)的運(yùn)算有意義，k是常數(shù)，則

（1）（A'）'=A；　　（2）（A+B）'=A'+B'

（3）（kA）'=kA'；　　（4）（AB）'=B'A'

（5）A為對(duì)稱矩陣的充要條件是A'=A；A為反對(duì)稱矩陣的充要條件是A'=-A。

證　僅證明第（4）式，其余請(qǐng)讀者自己完成。

設(shè)A=（aij）m×s是m×s矩陣，B=（bij）sn是s×n矩陣，記AB=（cij）m×n，B'A'=（dij）n×m，則轉(zhuǎn)置矩陣（AB）'的第i行第j列位置上的元素，即原矩陣AB的第j行第i列位置上的元素，它是

又 　　

顯然對(duì)任意?i，j（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），有cji=dij，從而（AB）'=B'A'。

【例2.7】　設(shè)，，驗(yàn)證（AB）'=B'A'。

　　證　　

所以顯然有（AB）'=B'A'。