第三節　可逆矩陣

在平面解析幾何中，我們曾經討論過坐標之間的變換。在線性代數中我們將要更一般地研究兩組變量之間的線性變換。例如

　　 （2.8） 　　

是從變量x，y到變量u，v的一個線性變換。反過來，從式（2.8）中解出x，y又有

　　 （2.9） 　　

通常稱從u，v到x，y的線性變換式（2.9）是線性變換式（2.8）的逆變換。若記式（2.8）、式（2.9）中的系數矩陣分別為A，B，即

不難驗證矩陣A，B滿足下列性質

AB=BA=E

為此引入逆矩陣的概念。

一、可逆矩陣的概念與判定

定義2.7　設A是n階方陣，如果存在一個n階方陣B，使得

AB=BA=E　（2.10）

則稱A是可逆的（Invertible），并稱B是A的逆矩陣（Inverse of a matrix），記作B=A-1。

如果不存在滿足式（2.10）的矩陣，則稱矩陣A是不可逆的。

定理2.1　如果矩陣A可逆，則它的逆矩陣是唯一的。

證　設矩陣B，C都是A的逆矩陣，則有

AB=BA=E，AC=CA=E

從而　　B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C

即逆矩陣是唯一的。證畢。

可逆矩陣的例子很容易找到。例如，因為En·En=En，所以n階單位矩陣E是可逆的，且E的逆矩陣就是E本身，即E-1=E。或更一般地，對角矩陣

當a1，a2，…，an都不等于零時，不難證明它也是可逆的，其逆矩陣是

那么n階矩陣在什么條件下才是可逆的呢？

定義2.8　設A是n階方陣，Aij是行列式｜A｜中元素aij的代數余子式，則稱矩陣

為矩陣A的伴隨矩陣（Adjoint matrix），記作A*。

【例2.8】　設

求其伴隨矩陣A*，并計算AA*。

解　矩陣A中各個元素aij的代數余子式分別為

A11=3，A12=-4，A13=-2

A21=2，A22=2，A23=1

A31=2，A32=-5，A33=1

從而它的伴隨矩陣

并且有

引理　設A是n階矩陣，A*是它的伴隨矩陣，則有

AA*=A*A=｜A｜E　　（2.11）

證　記

則由矩陣乘法的定義和代數余子式的性質知

所以

同理可證　　A*A=｜A｜E。

定理2.2　n階矩陣A可逆的充要條件是：｜A｜≠0，而且此時

證　必要性。若A可逆，則AA-1=A-1A=E，兩邊取行列式得｜A｜｜A-1｜=1，因而｜A｜≠0。

充分性。若｜A｜≠0，從式（2.11）可得

由矩陣可逆的定義知，A可逆，且

若n階矩陣A的行列式不為零，即｜A｜≠0，則稱A為非奇異矩陣（Nonsingular matrix），否則稱為奇異矩陣。上述定理說明，矩陣A可逆與矩陣A非奇異是等價的概念。

此外，定理不僅給出了矩陣可逆的條件，而且也告訴我們，對階數不大的矩陣，可以通過伴隨矩陣求它的逆矩陣。前面例2.8中的矩陣，因為它的行列式｜A｜=7≠0，所以其可逆，即逆矩陣存在，而且

推論2.1　如果AB=E（或BA=E），則A可逆，且

A-1=B

證　由AB=E，得｜A｜｜B｜=｜E｜=1，所以｜A｜≠0，從而由定理2.2可知A可逆，并且

B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1

對于BA=E的情形，可類似地證明。

二、逆矩陣的性質與應用

逆矩陣是許多實際問題的表述與求解中最常用的概念之一。在第一章中我們介紹了n元線性方程組的克萊姆法則。現在利用逆矩陣概念可以給出克萊姆法則的另一種更簡單的表達方式。

克萊姆法則：對n元線性方程組

若記它的系數矩陣為A=（aij）n×n，常數列向量b=（bi）n×1，解向量x=（xi）n×1，則該n元線性方程組可以用矩陣形式表示為

Ax=b

如果系數矩陣A可逆，在方程兩邊左乘A的逆矩陣A-1，則得到該n元線性方程組Ax=b的唯一解，解是

x=A-1b

這個結論與第一章表述的克萊姆法則的結論實則上是等價的。

與克萊姆法則等價性的證明如下。

記D=｜A｜≠0，A*是A的伴隨矩陣。則

現用方程組Ax=b右端的常數項b1，b2，…，bn來替換方程組系數行列式D=｜A｜中的第j列的元素而得到的行列式記為Dj（j=1，2，…，n）。并將每個Dj按其第j列展開后，即為上述最后一個（列）矩陣的第j個（行）元素。即

于是

這就是克萊姆法則的結論，但是我們看到，用逆矩陣方法來推導這一結論更容易，結論的表達也更加簡潔。

此外，又設A是可逆矩陣，B，C是任意矩陣，且

AB=AC

則易證B=C，即當A是可逆矩陣時，消去律也是成立的。此外，逆矩陣還有下列運算規律。

性質2.6　設A，B為同階可逆矩陣，k是非零常數，則

（1）（A-1）-1=A；　　（2）；

（3）（A'）-1=（A-1）'；　　（4）｜A-1｜=｜A｜-1；

（5）（AB）-1=B-1A-1。

證　僅以第（5）式為例給予證明。設A，B是可逆矩陣，則由定理2.2，｜AB｜=｜A｜｜B｜≠0，從而AB也可逆，又因為

（AB）（B-1A-1）=A（BB-1）A-1=AEA-1=AA-1=E

所以由定理2.2的推論，得

（AB）-1=B-1A-1

【例2.9】　設A，B為三階矩陣，E是三階單位矩陣，滿足矩陣方程AB+E=A2+B，又知

求矩陣B。

解　將已知的矩陣方程移項變形為AB-B=A2-E，即

（A-E）B=（A-E）（A+E）　　（2.12）

因為

是非奇異矩陣（｜A-E｜=1），從而由式（2.12）兩邊同時左乘（A-E）-1，即得

【例2.10】　設A為n階矩陣（n≥2），A*是A的伴隨矩陣，證明｜A*｜=｜A｜n-1

證　由式（2.11），得

｜A｜｜A*｜=｜（｜A｜E）｜=｜A｜n　　（2.13）

下面分三種情況：

（1）當｜A｜≠0，即A可逆，上式兩端同除以｜A｜，即得｜A*｜=｜A｜n-1；

（2）當｜A｜=0，且A=0，則A*=0，結論顯然成立；

（3）當｜A｜=0，但A≠0，則必有｜A*｜=0。用反證法，假設｜A*｜≠0，即A*可逆，因而

A=（AA*）（A*）-1=（｜A｜E）（A*）-1=｜A｜（A*）-1=0

這與A≠0矛盾。所以也有｜A*｜=0=｜A｜n-1。