第一節　矩陣的概念

本節我們來闡述矩陣概念的產生，介紹若干種特殊的矩陣并給出矩陣的一個應用案例。

一、高斯消元法與矩陣

在很多實際問題中，我們常常會碰到具有m個方程n個未知數的最一般形式的線性方程組：

　　 （2.1） 　　

在初等數學中，常用消元法解二元、三元一次方程組。消元法的基本思想是通過消元變形把已知方程組化成容易求解的同解方程組。在解未知數較多的方程組時，需要使消元法步驟規范而又簡便。下面通過例子說明消元法的具體做法，并從消元過程引入矩陣的概念。

【例2.1】　解線性方程組

　　 （2.2） 　　

解　將第一個方程與第二個方程交換位置，得

把第一方程的兩端乘以（-2），（-1），并分別加到第二個、第三個方程上去，得

再把第二個方程加到第三個方程上去，又在第二個方程兩端同乘以（-1），則得

　　 （2.3） 　　

容易證明這個方程組與原方程組是同解的。形如式（2.3）的方程組稱為階梯形方程組。在這個方程組中，未知數x3，x4可以任意取定它們的值［比如設為k1，k2（k1，k2 ∈ R）］，從式（2.3）的第二個方程求出x2的值，代入第一個方程中又得到x1的值。這樣得到的一組x1，x2，x3，x4即為原方程組（2.2）的解。

在上述對方程組（2.2）的消元變形過程中，實際上對方程組施行了下列三種變換：

（1）交換兩個方程在方程組中的位置；

（2）一個方程的兩端同乘以一個不等于零的數；

（3）一個方程的兩端乘以同一個數后加到另一個方程上去。

稱這三種變換為線性方程組的初等變換。

不難看出，對方程組施行初等變換后得到的是原方程組的同解方程組。對方程組施行初等變換的目的是逐步消去位于后面方程中的未知元，使其成為易于求解的階梯形方程組。

對方程組施行初等變換，實際上可以通過只對方程組中未知量的系數與常數項進行相應的運算而實現。因此可以把方程組的系數與常數項放在一起排成一個矩形數表，例如由上述方程組的系數與常數項排成的數表有3行5列，即

這個數表就是一個矩陣，又稱它為非齊次線性方程組的增廣矩陣（Augmented matrix）。

方程組的初等變換就可以簡化為對數表的運算，而且對方程組的初等變換與對數表施行相應的變換過程相似，作用相同，其結果也是等價的。因而在前述例2.1中，對方程組施行的初等變換可用矩陣方法表述如下

由最后一個矩陣不難寫出與該矩陣對應的線性方程組，并進而求出原方程組的解?？梢姡镁仃噥肀硎龇匠探M的消元求解過程更加簡便。

定義2.1　由m×n個數排成的m行n列的矩形數表。

稱為一個m×n矩陣（Matrix），其中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）表示矩陣中第i行第j列位置上的數，稱為矩陣的元素（Entry of a matrix）。元素為實數的矩陣稱為實矩陣。元素為復數的矩陣則稱為復矩陣。

矩陣數表外面用圓括號（也可以用方括號）括起來。通常用大寫英文字母A，B等表示矩陣，即矩陣可簡記為

A=（aij）m×n或A=［aij］m×n

括號右下角的m×n表示矩陣是m行n列的矩陣。

二、幾種特殊的矩陣

下面介紹一些常用的矩陣。

1.行矩陣、列矩陣與方陣

僅有一行的矩陣稱為行矩陣（Row matrix）（也稱為行向量），記為

A=（a1，a2，…，an）或A=（a1 a2 … an）

僅有一列的矩陣稱為列矩陣（Column matrix）（也稱為列向量），記為

行數與列數相等的矩陣稱為方陣（Square matrix）。例如

為n×n方陣，常稱為n階方陣或n階矩陣，簡記為A=（aij）n。

按方陣A的元素的排列方式所構成的n階行列式稱為方陣A的行列式，記為｜A｜或detA。在n階方陣A中，元素a11，a22，…，ann所在的對角線稱為主對角線（Main diagonal of a quare matrix）。主對角線上的元素稱為主對角元。

2.零矩陣、對角矩陣

若一個矩陣的所有元素都為零，則稱這個矩陣為零矩陣（Zero matrix或Null matrix）。例如，一個m×n的零矩陣可記為

在不會引起混淆的情況下，也可記為O。

主對角元以外的元素全為零的方陣稱為對角矩陣（Diagonal matrix）。如

為n階對角矩陣，其中未標記出的元素全為零，即aij=0，i≠j，i，j=1，2，…，n。對角矩陣常記為A=diag（a11，a22，…，ann）。

主對角元全相等的對角矩陣稱為數量矩陣（Scalar matrix）。例如

為一n階數量矩陣。特別地，當數量矩陣主對角元c等于1時，這樣的矩陣稱為單位矩陣（Identity matrix）。n階單位矩陣一般記為En（或In），即

3.上（下）三角矩陣

主對角線下（上）方的元素全為零的方陣稱為上（下）三角矩陣（Upper（Lower）triangular matrix）。例如

為n階上三角矩陣。而

為n階下三角矩陣。

4.對稱與反對稱矩陣

在方陣A=（aij）n中，如果aij=aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為對稱矩陣（Symmetric matrix）。如果aij=-aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為反對稱矩陣（Skew symmetric matrix）。例如

分別是對稱矩陣和反對稱矩陣。

矩陣A=（aij）m×n與B=（aij）p×q，如果滿足m=p且n=q，則稱這兩個矩陣A，B為同規模（或同類型）的矩陣（Matrices of the same type）。

定義2.2　兩個同規模的矩陣A=（aij）m×n與B=（bij）m×n，如果它們的對應元素相等，即aij=bijCi=1，2，…，m；j=1，2，…，n），則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。