0.2 現代控制理論的研究范圍

現代控制理論是應用狀態空間法對多輸入多輸出、線性或非線性、定常或時變系統的狀態進行分析與綜合的理論。其采用狀態空間表達式作為系統的動態模型，以能控性、能觀測性揭示系統外部特性（輸入、輸出）與內部特性（狀態）之間的關系，采用狀態反饋、極點配置的方法對系統進行綜合，以實現系統性能指標最優控制。現代控制理論的研究范疇主要有如下幾個方面。

1.系統辨識

基于動態系統在狀態空間的數學模型進行分析和控制是現代控制理論的特點之一。因此，系統辨識和建模是現代控制理論重要研究范疇之一。當系統較復雜時，解析法建模不再適用，而需采用實驗研究的方法即系統辨識方法。在基于試驗前知識所提出的被辨識系統模型的類型中，根據對所選擇的輸入試驗信號作用下的被辨識系統輸出響應的觀測，估計被辨識系統等價數學模型的結構參數和模型參數，并進行模型校驗。其中，參數估計是系統辨識中最重要和發展最快的研究領域，已出現很多參數估計的計算方法，如基于脈沖響應的脈沖響應法、相關函數法、局部辨識法；基于最小二乘法的加權最小二乘法、遞推最小二乘法、廣義最小二乘法等；基于似然函數的極大似然法等。

2.線性系統理論

線性系統理論是現代控制理論中應用最廣泛的獨立分支，也是現代控制理論的基礎。其采用狀態空間法對線性動態系統進行定量分析（即確定在不同輸入控制作用下系統狀態的動態響應）和定性分析（即穩定性、能控性、能觀測性分析），并采用狀態反饋配置閉環極點的方法控制并改善系統狀態的動態響應。因此，線性系統理論主要包括動態系統的狀態空間描述、狀態方程的求解、能控性、能觀測性和穩定性分析、狀態反饋及狀態觀測器設計等內容。

低階線性定常系統的穩定性分析，既可采用李亞普諾夫穩定性判據的第一法（間接法），即求系統微分方程的解，根據解的性質判斷系統穩定性；也可采用李亞普諾夫穩定性判據的第二法（直接法），即不求解系統微分方程，而是構造“李亞普諾夫函數”，并根據該標量函數的正定性及其導數的負定性直接判別系統穩定性。李亞普諾夫直接法提供了判別任何復雜系統穩定性的方法，在高階線性定常系統、非線性系統、時變系統穩定性分析中有顯著優勢，應用廣泛。因此，盡管基于狀態變量法的李亞普諾夫穩定性理論是1892年提出的，但控制系統的李亞普諾夫穩定性分析仍是現代控制理論的組成部分。

在狀態空間法的基礎上，派生了基于幾何方法的線性系統幾何理論、基于抽象代數的線性系統代數理論及基于經典頻率法的線性系統多變量頻域理論等新分支。

3.最優控制

最優控制是現代控制理論的核心。最優控制問題就是在多種約束條件下尋找使系統某個性能指標泛函取極值的控制規律，故其數學本質是求某泛函的條件極值問題，即變分學問題。針對經典變分法只適用于求解無約束或容許控制屬于開集的最優控制問題的局限，20世紀50年代，龐特里亞金提出“極小值原理”，發展了經典變分原理，以處理容許控制屬于閉集的最優控制問題。與此同時，貝爾曼為解決多級決策問題，提出“動態規劃”。“極小值原理”和“動態規劃”是研究最優控制問題最重要的兩種方法。隨著控制理論的發展，最優控制也有很大發展，如分布參數的最優控制、隨機最優控制、大系統的最優控制等。

4.最優濾波（最佳估計）

最優控制規律是被控系統內部狀態向量的函數，但由于被控系統和測量裝置存在隨機干擾和測量裝置的限制，一般難以精確地測量出系統全部狀態的信息。故基于已建立的系統數學模型，從夾雜著隨機噪聲的系統輸入/輸出的量測數據中，采用統計方法，針對一定統計規則（如最小方差估計、極大似然估計、最小二乘估計等）求出系統狀態的最優估計，即最優濾波是閉環系統最優控制工程實現的前提。基于最小方差準則的維納濾波和卡爾曼濾波是得到廣泛應用的兩種最優線性濾波方法。20世紀40年代提出的維納濾波方法開創了應用統計方法研究隨機控制問題的新領域，但其僅是對平穩隨機過程最優濾波的方法；20世紀60年代提出的卡爾曼濾波理論克服了維納濾波理論的局限性，適用于非平穩隨機過程，已在通信、控制、導航及其他具有隨機信號處理的很多領域得到廣泛應用。對非線性系統，由于在理論上難于找到嚴格的遞推濾波公式，目前一般采用非線性濾波線性化的近似方法（如連續型和離散型線性化卡爾曼濾波、推廣的卡爾曼濾波）處理非線性濾波問題。

5.自適應控制

系統的不確定性（如被控對象參數未知或工作狀況改變和環境變化引起系統參數改變）是對基于數學模型的傳統控制的挑戰，自適應控制正是為解決環境和被控對象參數有較大變化時系統仍能自動保持在接近某種意義下最優運行狀態這一問題提出的。“自適應控制”基于在線辨識系統數學模型，將系統當前性能與最優性能比較，實時調整控制器的結構、參數，即修改最優控制規律，以保證系統適應環境和被控對象參數變化，保持最優性能。模型參考自適應控制系統和自校正控制系統是自適應控制系統的兩種基本形式。目前，自適應控制理論仍在迅速發展之中，這反映了現代控制系統向智能化、精確化方向發展的總趨勢。