2.11 連續隨機變量的變換

如果X是服從連續分布F的隨機變量，那么對任意函數g（x），Y=g（X）仍是隨機變量.Y的分布是什么？

首先考慮支撐.如果X的支撐是X且函數g：X→Y，則Y的支撐為Y.例如，如果X的支撐是[0, 1]且g（x）=1+2x，則Y=g（X）的支撐是[1, 3].如果X的支撐是R+且g（x）=log（x），則Y=g（X）的支撐為R.

設Y的概率函數為FY（y）=P[Y≤y]=P[g（X）≤y].令B（y）是集合{x∈R：g（x）≤y}.事件{g（X）≤y}和{X∈B（y）}是等價的.所以Y的分布函數為

FY（y）=P[X∈B（y）]

因此，Y的分布由X的概率函數確定.

當g（x）單調遞增時，g（x）有反函數

h（y）=g-1（y）

則X=h（Y）且B（y）=（-∞, h（y）].Y的分布函數為

FY（y）=P[X≤h（y）]=FX（h（y））

它的密度函數是分布函數的導數.根據鏈式法則，可得

最后一個等號成立是因為h（y）關于y的導數為正.

現考慮g（x）單調遞減的情況，設其反函數為h（y），則B（y）=[h（y）,∞），

FY（y）=P[X≥h（y）]=1-FX（h（y））

它的密度函數是分布函數的導數，

最后一個等號成立是因為h（y）關于y的導數為負.

當g（x）嚴格單調時，Y的密度為

fY（y）=fX（g-1（y））J（y）

其中

稱為變換的雅可比行列式（Jacobian）.這個概念與微積分中類似.

由此得到下述定理.

定理2.4 若X～fX（x），f（x）是X上的連續函數.設g（x）嚴格單調，g-1（y）在Y上連續可微，則對所有的y∈Y，都有

fY（y）=fX（g-1（y））J（y）

其中.

定理2.4給出了一個變換Y的密度函數的簡潔公式.下述四個例子具體說明定理2.4.

例13 fX（x）=exp（-x）, x≥0.設Y=λX，λ＞0，即g（x）=λx.Y的支撐為Y=[0,∞）.設函數g（x）是單調遞增的，其反函數為h（y）=y/λ.雅可比行列式是反函數的導數，

Y的密度函數為

其中y≥0.由于

其中第二個等號通過變量變換x=y/λ得到，故密度是合理的.

例14 fX（x）=1，0≤x≤1.設Y=g（X），其中g（x）=-log（x）.由于X的支撐為[0, 1]，Y的支撐為Y=（0,∞）.函數g（x）單調遞減，其反函數為

h（y）=g-1（y）=exp（-y）

對h（y）求導得到雅可比行列式：

注意，fX（g-1（y））=1，y≥0.計算Y的密度，

fY（y）=fX（g-1（y））J（y）=exp（-y）

其中y≥0.這是指數分布的密度函數.也就是說，如果X服從均勻分布，則Y=-log（X）服從指數分布.

例15 X有任意連續可逆（嚴格遞增）的累積分布函數FX（x）.定義隨機變量Y=FX（x）.Y的支撐為Y=[0, 1]：則在[0，1]上Y的累積分布函數為

求導得概率密度函數：

這是服從U[0, 1]隨機變量的密度函數.故Y～U[0, 1].

變換Y=FX（x）被稱為概率積分變換（probability integral transformation）.無論初始X的分布是什么，該公式都能將Y變換為均勻分布，這個事實是相當奇妙的.

例16 令fX（x）表示圖2-7中時薪的密度函數.令Y=log（X）.如果X的支撐為R+，則Y的支撐為R，其反函數為h（y）=exp（y），雅可比行列式為exp（y）.Y的密度為fY（y）=fX（exp（y））exp（y）.如圖2-8所示，該密度函數比時薪的密度更對稱，偏度更小.