2.10 密度函數(shù)

連續(xù)隨機(jī)變量沒(méi)有概率質(zhì)量函數(shù).類(lèi)似的概念是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為密度.

定義2.9 設(shè)F（x）是可微的，則其密度（density）為.

密度函數(shù)也稱(chēng)為概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）.

通常使用小寫(xiě)字母表示密度函數(shù)，常用的選擇是f.與分布函數(shù)類(lèi)似，fX（x）表示隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，其中下標(biāo)表示這是X的密度函數(shù).簡(jiǎn)寫(xiě)為“X～f”，表示“隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f”.

定理2.3 概率密度函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)f（x）是密度函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

1.對(duì)所有的x，f（x）≥0.

2..

密度是可積且全域積分為1的非負(fù)函數(shù).根據(jù)微積分基本定理，有

這表明X落在區(qū)間[a, b]中的概率是密度函數(shù)在[a, b]上的積分，即概率等于密度函數(shù)下的面積.

例10 均勻分布.F（x）=x，0≤x≤1，其密度為

其中0≤x≤1，其他為0.該函數(shù)是非負(fù)的且滿(mǎn)足

即滿(mǎn)足密度函數(shù)的性質(zhì).

例11 指數(shù)分布.F（x）=1-exp（-x），x≥0.在x≥0上，其密度為

其他為0.該函數(shù)是非負(fù)的且滿(mǎn)足

即滿(mǎn)足密度函數(shù)的性質(zhì).密度函數(shù)可用來(lái)計(jì)算概率.例如，

例12 時(shí)薪.圖2-7展示了時(shí)薪的密度函數(shù).

解釋密度函數(shù)的方法如下.密度f（x）相對(duì)較高的區(qū)域是X發(fā)生的可能性相對(duì)較大的區(qū)域.密度f（x）相對(duì)較低的區(qū)域是X發(fā)生的可能性相對(duì)較小的區(qū)域.密度在尾部下降到零，因?yàn)槊芏群瘮?shù)是可積的.密度函數(shù)下的面積是概率.例如，在圖2-7中，20＜X＜30陰影區(qū)域的面積為0.24，表示時(shí)薪在20美元到30美元的概率是0.24.密度函數(shù)在15美元左右有一個(gè)單峰，是該分布的眾數(shù)（mode）.

時(shí)薪的密度是不對(duì)稱(chēng)的.左尾比右尾更陡，右尾比左尾更平緩.這種非對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為偏度（skewness）.收入和財(cái)富分布常常是有偏的，即相對(duì)于一般人群，有人以很小，但可能發(fā)生的概率獲得非常高的薪水.

連續(xù)隨機(jī)變量的支撐為使密度函數(shù)為正的值的集合.

定義2.10 連續(xù)隨機(jī)變量的支撐X是包含{x：f（x）＞0}的最小閉集.