2.8 連續隨機變量

如果隨機變量X的取值是連續的，則該隨機變量不服從離散分布.正式地，如果隨機變量的分布函數是連續的，則稱該隨機變量是連續的.

定義2.8 若X～F（x）且F（x）是連續的，則X是連續（continuous）隨機變量.

例5 均勻分布：

函數F（x）是全局連續的，當x→-∞時，極限為0；當x→∞時，極限為1.因此，F（x）滿足累積分布函數的性質.

例6 指數分布：

函數F（x）是全局連續的，當x→-∞時，極限為0；當x→∞時，極限為1.因此，F（x）滿足累積分布函數的性質.

例7 時薪.作為一個實際例子，圖2-5展示了2009年美國時薪的分布函數.圖形在[0, 60]美元范圍內繪制.該函數是連續且處處遞增的.這是因為時薪是連續變化的.箭頭表示時薪以10美元為間隔，從10美元到50美元對應分布函數的值.具體來說，時薪10美元處分布函數的值為0.14.故14%的人的時薪小于或等于10美元.時薪20美元處分布函數的值為0.54.故54%的人的時薪小于或等于20美元.類似地，時薪為30美元、40美元和50美元的分布函數函數的值分別為0.78、0.89和0.94.

可用差值描述分布函數.以區間（a, b]為例.隨機變量X∈（a, b]的概率為P[a＜X≤b]=F（b）-F（a），表示分布函數的差值.因此，分布函數的兩點之差就是X位于對應區間內的概率.例如，隨機抽取一人，其工資在10到20美元之間的概率是0.54-0.14=0.40.類似地，工資落在區間[40, 50]美元的概率為94%-89%=5%.

連續隨機變量等于特定值的概率為0.考慮任意的數x.通過對序列的概率取極限計算X等于x的概率，即考慮當?遞減向0時，X落在區間[x, x+?]的概率.此時，

其中F（x）是連續的.這看起來是個悖論.雖然X等于任一具體值x的概率是0，但是X等于一些值的概率是1.這個悖論是由于實數軸的魔力和無窮不可數的豐富性產生的.

對連續隨機變量，有

P[X＜x]=P[X≤x]=F（x）

P[X≥x]=P[X＞x]=1-F（x）