2.7 分布函數(shù)

隨機變量可用其分布函數(shù)來表示.

定義2.7 事件{X≤x}的概率稱為分布函數(shù)F（x）=P[X≤x].

F（x）也稱為累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，CDF）.常簡寫為X～F，即“隨機變量X具有分布函數(shù)F”或“隨機變量X服從F”.符號“～”表示左邊的變量具有右邊的分布.

通常使用大寫字母表示分布函數(shù).盡管可以使用任何記號，最常用的是F.如果需要指明隨機變量，在寫分布函數(shù)時加下標(biāo)X，即FX（x）.下標(biāo)X表示X的分布為FX.其中“x”可以使用任意的符號，如把分布函數(shù)記為FX（t）或FX（s）.當(dāng)只考慮一維隨機變量時，我們把分布函數(shù)簡記為F（x）.

對支撐點為τj的離散隨機變量，支撐點處的累積分布函數(shù)為小于j的累積概率和，即

支撐點間的累積分布函數(shù)是常數(shù).因此，離散隨機變量的累積分布函數(shù)是一個階梯函數(shù)，每個支撐點都有大小為π（τj）的跳躍.

圖2-4展示了圖2-2中兩個例子的分布函數(shù).

由圖可知，每個分布函數(shù)都是一個階梯函數(shù)，階梯在支撐點處.因為支撐點的概率不等，所以跳躍的大小是不同的.一般地（不僅對離散隨機變量成立），累積分布函數(shù)具有以下性質(zhì).

定理2.2 累積分布函數(shù)的性質(zhì).若F（x）是一個分布函數(shù)，則

1.F（x）是非降的.

2..

3..

4.F（x）是右連續(xù)的，即.

性質(zhì)1和性質(zhì)2由概率公理（概率是非負(fù)的）的第一條推出.性質(zhì)3是概率公理的第二條.性質(zhì)4表明F（x）在階梯處左不連續(xù)，但右連續(xù).這條性質(zhì)由分布函數(shù)P[X≤x]的性質(zhì)推出.如果分布函數(shù)的定義為P[X＜x]，則F（x）是左連續(xù)的.