2.3 離散隨機(jī)變量

我們把隨機(jī)變量X定義為一個(gè)實(shí)值結(jié)果.在大多數(shù)情況下，X只在實(shí)數(shù)軸的某個(gè)子集中取值.以拋硬幣實(shí)驗(yàn)為例，正面朝上記為1，反面朝上記為0，結(jié)果只取0和1.這是離散分布的例子.

定義2.2 如果集合X中的元素是有限的或可數(shù)的，則稱其為離散的（discrete）.

在實(shí)際應(yīng)用中很多離散集都是非負(fù)整數(shù).例如，在拋硬幣實(shí)驗(yàn)中，X={0, 1}.在擲骰子實(shí)驗(yàn)中，X={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

定義2.3 如果存在一個(gè)離散集合X滿足P[X∈X]=1，則稱X是離散隨機(jī)變量（discrete random variable）.滿足這一性質(zhì)的最小集合X稱為X的支撐（support）.

支撐是集合中取正概率的值.當(dāng)描述支撐時(shí)，有時(shí)可用X={τ1,τ2,···,τn}，X={τ1,τ2,···}或X={τ0,τ1,τ2,···}表示，稱τj為支撐點(diǎn)（support point）.

定義2.4 隨機(jī)變量X等于x的概率，記為π（x）=P[X=x]，稱為隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)（probability mass function）.考慮支撐點(diǎn)τj時(shí)，πj=π（τj）.

以拋硬幣實(shí)驗(yàn)為例，設(shè)其正面朝上的概率為p，支撐X={0, 1}={τ0,τ1}，概率質(zhì)量函數(shù)的取值為π0=1-p和π1=p.

以擲骰子實(shí)驗(yàn)為例.支撐X={1,2,3,4,5,6}={τj：j=1,2,···,6}，概率質(zhì)量函數(shù)為πj=1/6，j=1,2,···,6.

一個(gè)可數(shù)隨機(jī)變量的例子如下：

這是一個(gè)合理的概率函數(shù)，因?yàn)?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/AB7947/32540604707482506/epubprivate/OEBPS/Images/42_03.jpg?sign=1755389331-RZHGScqIfqNwq9WcyqvjZWz55Frqd7X9-0-38352fbbc1d5c10f74dae9de97f82354">.支撐為X={0,1,2,···}，概率質(zhì)量函數(shù)為πj=e-1/（j！），j≥0.（這是3.6節(jié)定義的泊松分布的特例.）

通常利用條形圖表示概率質(zhì)量函數(shù).條形圖可直觀地表示事件發(fā)生的相對(duì)頻率.圖2-2a展示了式（2.1）中的概率質(zhì)量函數(shù).每個(gè)條形的高度表示支撐點(diǎn)處的概率πj.雖然分布是可數(shù)的，但可以忽略k≥6時(shí)的概率，故只繪制了k≤5的概率質(zhì)量函數(shù).可以看到，k=0和k=1的概率大約為0.37，k=2的概率大約為0.18，k=3的概率大約為0.06，k=4的概率大約為0.015.

再比如真實(shí)世界的例子，圖2-2b展示了2009年美國工薪階層的受教育年限[1].可以看出，受12年教育的概率（大約27%）最高，第二高的是受16年教育的概率（大約23%）.