2.4 變換

如果X是隨機變量，Y=g（X），其中g：X→Y?R，那么Y也是一個隨機變量.更正式地說，因為X是從樣本空間S到X的映射，且g是X到Y?R的映射，所以Y也是從S到R的映射.

我們對刻畫Y的概率質量函數感興趣.設X的支撐為X={τ1,τ2,···}，其概率質量函數為πX（τj）.

對X的每個支撐點進行變換，得到μj=g（τj）.若μj是唯一的（沒有其他值），則Y的支撐為Y={μ1, μ2,···}，概率質量函數為πY（μj）=πX（τj）.變換X→Y使得支撐點從τj變換到μj，概率保持不變.

若μj是不唯一的，則需要組合相應的概率.本質上，變換減少了支撐點的數量.例如，假設X的支撐為{-1, 0, 1}.令Y=X2，則Y的支撐為{0, 1}.由于-1和1均映射到1，Y的概率質量函數等于這兩個概率之和，即Y的概率質量函數為

πY（0）=πX（0）

πY（1）=πX（-1）+πX（1）

一般地，

這個求和看起來很復雜，但它僅僅表明將變換后值相等的變量的概率相加.