1.3.4　無窮小量與無窮大量的關系

定理1-3（無窮大量與無窮小量的關系）　在自變量的同一變化過程中，有以下規(guī)律。

（1）如果f(x)為無窮大量，則為無窮小量；

（2）如果f(x)為無窮小量，且f(x)≠0，則函數為無窮大量。

即：；

。

由定理1-3可知，當x→0時，x3是無窮小量，而是無窮大量；當x→∞時，x+3是無窮大量，而是無窮小量。這說明無窮大量和無窮小量之間存在倒數關系。

【例1-18】指出下列哪些是無窮小量，哪些是無窮大量。

（1）2x2，x→0；

（2），x→0+；

（3）x2+100x+0.001，x→0；

（4）ln(x+1)，x→0；

（5）ex，x→+∞。

解：

（1）因為當x→0時，2x2→0，所以當x→0時，2x2是無窮小量；

（2）因為當x→0+時，無限增大，所以當x→0+時，是無窮大量；

（3）因為當x→0時，x2+100x+0.001→0.001，既不是趨近于0，它的絕對值也不是無限增大，所以當x→0時，x2+100x+0.001既不是無窮小量也不是無窮大量；

（4）因為當x→0時，ln(x+1)→0，所以當x→0時，ln(x+1)是無窮小量；

（5）因為當x→+∞時，ex無限增大。所以當x→0時，ex是無窮大量。

【例1-19】　函數在自變量怎樣變化時是無窮小？在自變量怎樣變化時是無窮大？

解：。

當x→1時，f(x)是無窮小量。

當x→∞時，f(x)是無窮大量。