1.3　無窮小量和無窮大量

1.3.1　無窮小量的定義

定義1-12　若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x₀(或x→∞)時(shí)的極限為0，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x₀(或x→∞)時(shí)的無窮小，常用α，β，γ等表示。

例如，當(dāng)x→0時(shí)，x2,sin x,1-cosx等都是無窮小量。當(dāng)時(shí)，cos x也是無窮小量。

通俗的講，無窮小量是一個(gè)以0為極限的變量。但是要注意以下幾點(diǎn)。

（1）無窮小量不是一個(gè)數(shù)。

（2）0是唯一可以作為無窮小量的常數(shù)。

（3）無窮小量是相對(duì)于自變量的某一變化過程而言的，必須注明自變量的變化趨勢(shì)。不能籠統(tǒng)地說某個(gè)函數(shù)是無窮小量。如直接說sin x是無窮小量就是錯(cuò)誤的，因?yàn)閟in x在x→0時(shí)是無窮小，而在時(shí)就不再是無窮小。

（4）無窮小量的定義對(duì)數(shù)列也適用。例如，數(shù)列當(dāng)n→∞時(shí)就是無窮小量。

定理1-2（極限與無窮小量之間的關(guān)系）　函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件：f(x)可以表示為A與一個(gè)無窮小α之和。即

其中

【例1-17】　當(dāng)x→∞時(shí)，將函數(shù)寫成其極限值與一個(gè)無窮小量之和的形式。

解：因?yàn)?img alt="" class="pic-h-2" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P35_39548.jpg?sign=1754528835-LJ5XqRZlDcRcqNXt3knndeyaWHdgmwQN-0-5de72348276ec3999afe1051d9caa3bd">，而f(x)可寫成的形式。其中就是當(dāng)x→∞時(shí)的無窮小量，所以為所求極限值與一個(gè)無窮小量之和的形式。