1.2.2　函數的極限

數列中，n只能無限增大，即n→∞。但是對函數f(x)而言，自變量x有兩種變化：（1）無限增大，即x→∞；（2）x無限接近某個常數x₀，即x→x₀。

1．當x→∞時，函數f(x)的極限

函數的自變量x→∞是指無限增大，它包含以下兩種情況。

（1）x>0且無限增大，記為x→+∞；

（2）x<0且無限減小，記為x→-∞。

如果x不指定正負，只是無限增大，則記為x→∞。

【例1-12】　考察當x→∞時，的變化趨勢。

解：如圖1-16所示，當x→+∞和x→-∞時，，所以當x→∞時，有固定變化趨勢，即。

與數列極限類似，我們稱1為函數當x→∞時的極限。

定義1-9　如果當無限增大（x→∞）時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則稱常數A為函數f(x)當x→∞時的極限，記作

如果當x→∞時，f(x)不能趨近于一個確定的常數，則稱x→∞時，函數f(x)極限不存在。

類似地，如果當x→+∞（或x→-∞）時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f(x)當x→+∞（或x→-∞）時的極限，記作

簡單函數的極限可以通過觀察圖像得到。

【例1-13】　求函數當x→-∞，x→+∞和x→∞時的極限。

解：繪制的函數圖像，如圖1-17所示。觀察圖像可以發現：

不存在，，不存在。

【例1-14】　求函數，當x→-∞，x→+∞和x→∞時的極限。

解：繪制的函數圖像，如圖1-18所示。觀察圖像可以發現：

2．當x→x₀時，函數f(x)的極限

除x→∞外，也可以無限趨近于某個常數，我們記

（1）表示x從小于x₀的方向無限趨近于x₀；

（2）表示x從大于x₀的方向無限趨近于x₀；

（3）x→x₀表示x從大于x₀和小于x₀的方向無限趨近于x₀。

需要說明的是，無論，還是x→x₀，都表示x從某個方向無限趨近于x₀，但x≠x₀。

【例1-15】　考察函數當x→1時的變化趨勢。

解：，繪制函數圖像如圖1-19所示。觀察圖像發現：函數在x=1處沒有定義，但當x無論從左側還是右側趨近于1時，曲線上的點(x, f(x))都會沿著曲線逐漸接近點(1,3)，此時f(x)的值無限趨近于3。所以，當x→1時，f(x)有固定的變化趨勢，即。

將x分別取逐漸逼近1的兩個數列，計算函數值并以表格的形式呈現，也可以得出同樣的結論，如表1-3所示。

定義1-10　設函數f(x)在點x₀的某個去心鄰域內有定義，如果當x→x₀（x≠x₀）時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f(x)當x→x₀時的極限，記為

或

這里要注意x→x₀表示x無限趨近于x₀但x≠x₀。極限反映了x無限趨近于x₀的過程中f(x)的變化趨勢，所以與x₀這一點處的函數值f(x₀)無關。即使在x₀處函數值不存在，極限也可能存在。根據極限定義有。

在上面的極限定義中，x→x₀表示x既可以從大于x₀的方向趨近于x₀，也可以從小于x₀的方向趨近于x₀。如果在x₀的左、右兩側趨近于x₀時，曲線上的點變化趨勢不一致，就需要分開討論。

定義1-11　如果時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f(x)在x₀處的右極限，也可以說當從右側趨近于x₀時f(x)的極限為A，記為

或

如果時，函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f(x)在x₀處的左極限，也可以說當x從左側趨近于x₀時f(x)的極限為A，記為

或

根據x→x₀時f(x)極限的定義和左、右極限的定義，容易得到以下定理。

定理1-1　的充分必要條件是。

由于分段函數在分界點左、右兩側的表達式不同，因此常用這個定理求分段函數在分界點處的極限。

【例1-16】　求下列函數在x₀=0處的極限。

（1）

（2）

解：（1）繪制函數圖像如圖1-20所示。x₀=0是分段函數f(x)的分界點，且左、右兩邊的趨近方式不同，所以分別討論左、右極限。，。因此，，所以不存在。

（2）繪制函數圖像如圖1-21所示，x₀=0是分段函數g(x)的分界點，且左、右兩邊的趨近方式不同，所以分別討論左、右極限。，。因此，，根據定理1-1得。