1.2.1　數(shù)列的極限

1．?dāng)?shù)列

定義1-7　按照一定次序排成一列的數(shù)a₁, a₂,…,a_n,…稱(chēng)為數(shù)列，記為{a_n}。其中，a₁叫作數(shù)列的首項(xiàng)，a_n叫作數(shù)列的第n項(xiàng)，也稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)。

無(wú)限數(shù)列可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)。以下是常見(jiàn)的幾種數(shù)列：

（1）；

（2）；

（3）1,3,5,7,…,(2n-1),…；

（4）1,-1,1,-1,…,(-1)n-1,…。

2．?dāng)?shù)列極限的概念

觀察上面的四個(gè)數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律。

數(shù)列（1）當(dāng)n增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)逐漸減小。當(dāng)n→∞時(shí)，。數(shù)列（2）當(dāng)n增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)的值在原點(diǎn)兩側(cè)交替出現(xiàn)，且逐漸減小趨近于0。所以當(dāng)n→∞時(shí)，。數(shù)列（3）當(dāng)n增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)a_n=2n-1的值逐漸增大，且無(wú)上界。所以當(dāng)n→∞時(shí)，a_n=2n-1的值無(wú)限增大，沒(méi)有固定變化趨勢(shì)。數(shù)列（4）當(dāng)n增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)a_n=(-1)n-1的值在1與-1之間來(lái)回振蕩，不能趨近于一個(gè)確定的數(shù)。所以當(dāng)n→∞時(shí)，a=(-1)n也沒(méi)有固定的變化趨勢(shì)。

當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列（1）和（2）都有固定的變化趨勢(shì)，趨近于一個(gè)確定的常數(shù)；而數(shù)列（3）無(wú)限增大，數(shù)列（4）振蕩，都沒(méi)有固定的變化趨勢(shì)，不能趨近于一個(gè)確定的常數(shù)。我們定義“極限”區(qū)分這兩種情況。

定義1-8　已知數(shù)列a₁, a₂,…,a_n,…，如果當(dāng)n→∞時(shí)，通項(xiàng)a_n無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列{a_n}的極限為A，記作

或

此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列{a_n}收斂于A。如果數(shù)列{a_n}沒(méi)有極限，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}發(fā)散。

根據(jù)數(shù)列的定義有，?；蛘哒f(shuō)數(shù)列和收斂于0。而數(shù)列{2n-1}和{(-1)n-1}發(fā)散。

3．?dāng)?shù)列極限的性質(zhì)

性質(zhì)1-1　如果數(shù)列存在極限，則極限唯一。

性質(zhì)1-2　如果極限存在，則數(shù)列{a_n}是一個(gè)有界數(shù)列。

4．常見(jiàn)的數(shù)列極限

【例1-11】　討論下列數(shù)列的極限。

（1）；（2）；（3）。

解：求解數(shù)列極限時(shí)，可以列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，結(jié)合數(shù)軸上描點(diǎn)找出數(shù)值變化的趨勢(shì)確定極限。

（1）數(shù)列為…。當(dāng)n→∞時(shí)，無(wú)限減小趨近于0，所以。

（2）數(shù)列為。當(dāng)n→∞時(shí)，逐漸增大趨近于1，所以。

（3）數(shù)列為。當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)軸上在x軸上下兩側(cè)交替出現(xiàn)，且逐漸減小趨近于0，所以。