1.1.4　函數(shù)的運(yùn)算

兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)可以通過四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成新的函數(shù)。

1．四則運(yùn)算

定義1-2　已知兩個(gè)函數(shù)y=f(x)(x∈D₁)與y=g(x)(x∈D₂)，設(shè)D=D₁∩D₂且D≠?。則分別稱f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)與f(x)/g(x)為f(x)和g(x)的和、差、積、商函數(shù)。

但是要注意其中D₁∩D₂≠?，否則運(yùn)算無意義。

2．復(fù)合運(yùn)算

定義1-3　假設(shè)y是u的函數(shù)即y=f(u)，而u又是x的函數(shù)即u=φ(x)，且y=f(u)的定義域與u=φ(x)的值域的交集非空。那么，y通過中間變量u又成為x的函數(shù)，稱為由函數(shù)y=f(u)與u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作

y=f[φ(x)]。

復(fù)合的過程就是依次代入消掉中間變量的過程。

【例1-6】　求下列函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。

（1）y=lnu，u=1+sin x；

（2）y=eu，u=cosv，v=2x+1。

解：

（1）u是中間變量，將u=1+sin x代入y=lnu，得到復(fù)合函數(shù)為y=lnu=ln(1+sin x)。

（2）中間變量為u和v，將中間變量依次代入得到y=eu=ecos v=ecos( 2x+1)。

【例1-7】　指出下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的。

（1）y=(5x-1)4；（2）。

解：

（1）y=(5x-1)4是由y=u4和u=5x-1復(fù)合而成。

（2）是由y=cosu，和v=1+3x2復(fù)合而成。

3．反函數(shù)

攝氏溫度C和華氏溫度F是兩大國際主流的計(jì)量溫度的標(biāo)準(zhǔn)，兩者之間的換算關(guān)系為F=32+1.8C。這里C是自變量，F是因變量。將攝氏溫度C=20℃代入得到對(duì)應(yīng)的華氏溫度F=68 ℉。如果要將華氏溫度F=86℉轉(zhuǎn)換成攝氏溫度呢？只需將式子改寫為，此時(shí)自變量為F，因變量為C，將F=86℉代入得到對(duì)應(yīng)的攝氏溫度C=30℃。

上面的例子中，兩個(gè)式子是相反的，F=32+1.8C是以C為自變量表達(dá)F，而是以F為自變量表達(dá)C。我們稱是F=32+1.8C的反函數(shù)，反之亦然。

定義1-4　設(shè)y=f(x)是定義在D上的函數(shù)，值域?yàn)?i>Z。如果對(duì)于數(shù)集Z上的每個(gè)數(shù)，數(shù)集D上都有唯一確定的一個(gè)數(shù)x與之對(duì)應(yīng)，那么確定了以y為自變量的一個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記為

x=f-1(y)。

它的定義域?yàn)?i>Z，值域?yàn)?i>D。而y=f(x)稱為x=f-1(y)的原函數(shù)。

為了與傳統(tǒng)習(xí)慣相適應(yīng)，以為自變量，y為因變量，將y=f(x)的反函數(shù)記為

y=f-1(x)。

【例1-8】　求函數(shù)的反函數(shù)。

解：由得到?；Qx，y得到，即的反函數(shù)為。根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，原函數(shù)的定義域?yàn)?img alt="" class="pic-h-2" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P19_39094.jpg?sign=1754429212-lYbo6Q0dd7m8yqgT36klHhgenB3uRqB5-0-c8223b04dee1c54f22a345f2ee322ca3">，值域?yàn)閇0,+∞)，而反函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+∞)，值域?yàn)?img alt="" class="pic-h-2" src="https://epubservercos.yuewen.com/A811B9/31397825703550206/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P19_39098.jpg?sign=1754429212-SUa1tXaignaN30KIU6XNM0jlYRSMX1EW-0-f67ce34a775510e0eb176ac3e7f65c07">。