1.1.5　基本初等函數與初等函數

有些函數，如y=3sin x+x2，和y=e-sin x，圖像和性質都難以確定。但是仔細觀察會發現，這些函數都是由sin x，x2，ex和常數等比較簡單的函數構成的，了解這些簡單函數的圖像和性質有利于深入了解更復雜函數的性質。

定義1-5　我們把常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數，這六大類簡單的函數統稱為基本初等函數。

1．常數函數

常數函數

的定義域為(-∞,+∞)，值域為單點集合{C}。函數圖像為平行于x軸且截距為C的一條直線。如圖1-4所示。

2．冪函數

冪函數

的定義域和圖像隨α的取值變化而變化，但都過點(1,1)。如圖1-5所示。

當α>0時，y=xα的圖像在區間(0,+∞)上單調遞增；當α<0時，y=xα的圖像在區間(0,+∞)上單調遞減。

3．指數函數

指數函數

的圖像位于x軸上方，定義域為(-∞,+∞)，值域為(0,+∞)，且過點(0,1)。當a>1時，圖像單調遞增；當0<a<1時，圖像單調遞減。如圖1-6所示。

4．對數函數

對數函數

的圖像位于y軸右側，定義域為(0,+∞)，值域為(-∞,+∞)，且過點(1,0)。當a>1時，圖像單調遞增；當0<a<1時，圖像單調遞減。如圖1-7所示。

5．三角函數

三角函數包含正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數和余割函數六類。

正弦函數

的定義域為(-∞,+∞)，值域為[-1, 1]，周期為2π，函數圖像如圖1-8所示。

余弦函數（圖1-9）：

定義域為(-∞,+∞)，值域為[-1, 1]，周期為2π，函數圖像如圖1-9所示。

正切函數

定義域為，值域為(-∞,+∞)，周期為π，函數圖像在一個周期內單調遞增。如圖1-10所示。

余切函數

定義域為(kπ, π+kπ)(k∈Z)，周期為π，函數圖像在一個周期內單調遞減。如圖1-11所示。

正割函數與余割函數也是兩個經常使用的三角函數。

正割函數

余割函數

6．反三角函數

反三角函數是三角函數的反函數。

反正弦函數

的定義域為[-1, 1]，值域為，函數圖像在定義域內單調遞增，如圖1-12所示。

反余弦函數（圖1-13）：

的定義域為[-1, 1]，值域為[0, π]，函數圖像在定義域內單調遞減，如圖1-13所示。

反正切函數

的定義域為(-∞,+∞)，值域為，函數圖像在定義域內單調遞增，如圖1-14所示。

反余切函數

的定義域為(-∞,+∞)，值域為(0, π)，函數圖像在定義域內單調遞減，如圖1-15所示。

定義1-6　由基本初等函數經過有限次四則運算與有限次復合運算構成的，且可以用一個數學式子表示的函數，稱為初等函數。

初等函數是高等數學的基本研究對象，，和y=x2e-x等都是初等函數。但不是初等函數。引入初等函數的概念后，對初等函數性質的研究可以轉化為對基本初等函數性質的研究。