費馬與他的定理

皮埃爾·德·費馬生于1601年，在法國南部度過了他的一生。他是一位受過訓練的律師，曾擔任圖盧茲議會的顧問，那是一個所轄范圍很大的司法機構。費馬利用所剩無幾的業余時間從事數學研究，并且遠離巴黎的知識分子活動圈，幾乎完全是獨自一人在做那些工作。17世紀30年代，他通過巴黎最小兄弟會的修士馬蘭·梅森與更遠地方的數學家們進行交流。但在17世紀40年代，隨著身上政治壓力的增加，他抽身而出，再次獨自進行數學研究。費馬取得了17世紀早期數學領域內的一些最深刻的成果，不過對于其中的大部分，他只樂意用吊人胃口的方式提及一點點。他一次又一次地向他的專題通訊員保證，如果有足夠的閑暇時間，他會補充細節；可這種閑暇從來也沒出現過。他有時會簡單地陳述自己的發現，或者會發出挑戰，直白地給出他正思考著的那些想法，卻不透露他那些好不容易得來的結果。

他對大定理的第一次暗示便出現在這樣的一次挑戰中。1657年，他把信件寄給了英國數學家約翰·沃利斯和威廉·布龍克爾。他們沒看出他在說些什么，并且認為若做出回應便失了身份而對此不予理會。費馬過世后，其子塞繆爾在編輯他的一些筆記和論文時，該定理的完整陳述才為人所知。費馬將它記在了他手上丟番圖所著的《算術》一書的空白處。我們在適時回顧書中哪些內容啟發了費馬之前，需要簡要地介紹一下費馬大定理本身。

回想起上學時所學的數學，幾乎每個人都會提到的便是畢達哥拉斯定理。該定理指出，直角三角形最長一邊（即斜邊）的平方，等于兩條短邊（即兩腰）的平方和。大多數人可能還記得，如果兩條短邊分別為3及4個單位長度，那么長邊將為5個單位長度，因為32+42=52。這種三角形被稱作“3—4—5三角形”。有了它，人們借助一根繩子就可方便地在地上畫出直角；而教科書編著者也會用到這種三角形，他們想設置無須借助計算器便可解答的問題。

由三個整數構成而滿足相同關系的集合還有許多，例如很容易驗算52+122=132，再如82+152=172。這樣的集合有時記作（3,4,5）、（5,12,13），等等。它們被稱為“畢達哥拉斯三元組”，而且有無數個這樣的三元組。就像數學家喜歡做的那樣，現在假定我們稍微改變一下條件，看看會發生什么。如果不是取每個數的平方，而是取它們的立方，又會怎么樣？我們能否找到使a3+b3=c3成立的三元組（a,b,c）呢？或者我們能否更進一步來找尋一個三元組，使得a7+b7=c7甚至a101+b101=c101成立？費馬得出的結論是嘗試毫無意義：對于任何超過平方的冪運算，我們找不到使等式成立的三元組。不過，和往常一樣，他把處理細節的工作留給了其他人。這一次，他的借口不是時間問題，而是空間不夠：他說找到了一個絕妙的證明，只是頁邊的空白處太小，寫不下了。

丟番圖的《算術》一書有個1621年的版本，是克洛德·加斯帕爾·巴謝所譯。費馬就在這樣一個譯本第八十五頁的空白處記下了上述問題。自從1462年在威尼斯重新發現了一份希臘文手稿以來，《算術》一書就一直吸引著歐洲數學家。對于丟番圖本人，人們過去一無所知，而現在所了解的就更少了。這份手稿稱他為“亞歷山大的丟番圖”，因此我們可以假設他在埃及北部那個講希臘語的城市生活、工作，度過了人生中一段重要的時光。我們并不知道，他是埃及本地人還是地中海世界其他地區的移民。任何對他生活年代的估計不過是猜測。丟番圖引用過許普西科勒斯（約公元前150年）的一條定義，而賽翁（約公元350年）則引用過丟番圖的一條結論。這就將他的生平限制在五百年的跨度之內，但更小的范圍我們就沒法知道了。

與其他希臘數學領域的作者留下的幾何文本相比，這本《算術》極不尋常。它的主題不是幾何，也不是日常計賬的算術。它其實是一組復雜的問題，要求整數或分數必須滿足特定條件。例如，第二冊的第八個問題要求讀者“將一個正方形分為兩個正方形”。出于眼下的目的，我們可以將上述問題轉變為更現代的表述方式，從而能看出它與畢達哥拉斯三元組有關，即一個給定的正方形（如前所示，記作c2）可以分成或分解為兩個較小的正方形（a2+b2）。當最大的那個正方形等于16的時候（這種情況下答案涉及分數），丟番圖展示了一種聰明的方式來求解；之后他就轉而去研究其他問題了。

然而，費馬對此猶豫了，而且肯定問過自己這樣顯而易見的問題：這個方法可以擴展嗎？人們能不能“將一個立方體分成兩個”呢？這正是他在1657年向沃利斯和布龍克爾提出的問題（費馬后來向他們通報說那是不可能的，隨后沃利斯憤怒地反駁說這樣的“負面”問題是荒謬的）。費馬在頁邊空白處的提議實際上不僅適用于立方運算，也適用于任何更高次冪，這遠遠超出了丟番圖所要求解的范圍。

以上敘述中已經反復出現了另一個名字，所以讓我們現在沿著歷史的腳步從丟番圖回溯到畢達哥拉斯，后者據信于公元前500年前后居住在希臘的薩摩斯島上。盡管這一年代很早，但許多讀者可能會覺得對畢達哥拉斯比對丟番圖更加熟悉：作為數學史學家，我最常被問到的問題確實是“你會一路回溯到畢達哥拉斯嗎？”畢達哥拉斯定理為人所知的確已有很長時間，令人失望的卻是沒有證據將其和畢達哥拉斯聯系在一起。實際上，幾乎沒有證據將任何東西同畢達哥拉斯聯系起來。若說丟番圖是個身世神秘的人物，那么畢達哥拉斯便被神話與傳說所籠罩。我們沒有出自畢達哥拉斯或其直接追隨者之手的文本。關于他的生平，有幸保留下來的最早記載出自公元3世紀，也就是在他生活年代的大約八百年后，由作者們出于各自的哲學企圖發掘而出。據說畢達哥拉斯在巴比倫或埃及學過幾何；而這段出自推測的旅程，或許不過是那些作者虛構的，用來鞏固他的地位與權威。至于他的追隨者應該做過什么或者據信做了什么，這類故事可能有一定事實上的基礎，但人們不可能確定其中的任何一個。總之，畢達哥拉斯簡直成了一個傳奇人物。很多事都歸在他的名下，可事實上人們對他并不了解。

畢達哥拉斯、丟番圖、費馬與懷爾斯，這四人的生活年代跨越了兩千年的數學史。我們無疑可以追溯貫穿于每個故事中相似的數學思想，即使它們之間相隔了幾個世紀。然后，我們就“完成”費馬大定理由始至終的歷史了嗎？回答是“并沒有”，而且原因還不少。第一個原因在于歷史學家的一項任務便是將虛構從事實中剝離出來，并且讓神話與歷史脫鉤。這并不是要低估小說或神話的價值：二者都體現了社會用來定義自身并理解自身的故事，而這些故事可能具有深刻而持久的價值。但是，歷史學家一定不能讓這些故事掩蓋可能指向其他敘述的證據。在畢達哥拉斯這個例子中，比較容易看出貌似強有力的敘述是如何以及為什么會從最脆弱的話題中被編造出來；而就安德魯·懷爾斯的例子來說，我們相信我們掌握了眼前的事實，也就更不易看出其中的問題。幾乎所有故事的真相總是比我們最初想象的或是比作者有時想讓我們相信的更為復雜，關于數學與數學家的故事也不例外。本章余下的部分便來探討數學史上一些常見的神話和陷阱。為了方便起見，我將它們稱作“‘象牙塔’版本的歷史”、“‘墊腳石’版本的歷史”以及“‘精英’版本的歷史”。本書其余章節會接著給出另一些案例。