戴德金公理：受控實驗的組織、迭代和擴張

現在，我們來研究可自我迭代的受控實驗。對于這一類受控實驗，當Y并入C后能形成一個新的受控實驗時，新的受控實驗又產生了新的可控制變量。因為新形成的可控制變量總是可以加入C，并可能形成新的受控實驗，當由可觀察變量到主體掌握的可控制變量的反饋始終存在（見圖1—3）時，我們看到受控實驗的不斷擴張。那么，如何用符號來研究受控實驗的擴張呢？

當我們用一個符號代表某一次受控實驗，該符號的后繼符號代表做下一次相同的受控實驗時，該受控實驗普遍可重復規定了相應符號集的結構，具有這一結構的集合就是自然數。現在我們改變符號指涉的對象，用一個符號對應某一種受控實驗或受控觀察，用該符號的后繼符號代表和已做過的受控實驗或受控觀察不同的另一個受控實驗或受控觀察。在做出這樣的改變后，同樣要求該集合滿足數學歸納法，我們再一次得到了所有自然數的集合。也就是說，自然數對應著所有受控實驗和受控觀察，而受控實驗通過組織和自我迭代不斷擴張的符號表達，只是自然數的子集合。將這一數學結果投射到認識論上，我們立即發現，自然數為真，不僅意味著可以定義所有受控實驗和受控觀察，還可以用此來研究由某些受控實驗通過組織和自我迭代產生的受控實驗集合與所有受控實驗（包括受控觀察）的關系。

《消失的真實》第三編討論自然數時，除了皮亞諾公理，還列舉了對自然數的另一種定義，它是由數學家戴德金提出的，即自然數還是滿足如下4個公理的集合。

1．C是一集合，c為C中一元素，f是C到自身的映射。

2．c不在f的值域內。

3．f為一單映射。

4．若A為C的子集并滿足如下條件——若a屬于A，則f（a）亦屬于A，且a不在f的值域內，則A=C。[41]

其中條件4和皮亞諾公理條件5相同，即數學歸納法成立。前三個條件是什么意思？戴德金公理中前三個條件敘述了該集合元素產生的過程：將一個已知的元素c代入映射f得到元素f（c），c不在f的值域內，即f（c）不同于c。再將f（c）代入映射f，得到的結果亦不在其值域內，這意味著它與f（c）和c都不同，如此等等。由此可得出兩個結論：第一，如果把由f產生的所有元素作為C集，f就是C到自身的單映射；第二，f在規定C集的各個元素時，由它產生的新元素必須和已得到的元素不同。這樣，戴德金公理中前三個條件是指，由某一個元素產生一個和它不同的元素，再由這兩個元素產生一個和它們都不同的第三個元素，如此等等，最后形成集合C。

如果滿足戴德金公理前三個條件的集合中每一個元素都對應著受控實驗或受控觀察，f就是根據已知的受控實驗和受控觀察，產生一個和它們不同的受控實驗和受控觀察。也就是說，f定義了受控實驗和受控觀察的擴張。接著，我們要求該集合滿足條件4。這樣我們可以斷言：上述由f形成的受控實驗和受控觀察擴張鏈涵蓋了所有受控實驗和受控觀察。為什么？因為戴德金公理條件4即數學歸納法成立。也就是說，f產生的所有元素定義了所有的受控實驗和受控觀察。

現在，可以進一步用符號表達已知的受控實驗和受控觀察經組織和迭代不斷擴張了。令C₁ 為滿足戴德金公理集合C的子集合，c為C₁ 中的元素，F是C₁ 到自身的映射；當c不在F的值域內，F為多對一或單映射時，C₁ 表達了受控實驗和受控觀察經組織和迭代不斷擴張形成之集合。這里，F代表了組織和迭代方式，它產生了一個由某些受控實驗和受控觀察一意規定但又和它們不同的受控實驗或受控觀察。[42]

當C₁集合有無限多個元素時，意味著受控實驗通過組織和迭代無限制地擴張，即由某一組受控實驗一定可以產生規模更大、程度更復雜的新受控實驗和受控觀察。顯而易見，C₁是C的子集合，而C是自然數，當C₁ 有無窮多個元素時，它為自然數中一個遞歸可枚舉的子集合。這樣一來，揭示某一個特定受控實驗或受控觀察與由已知受控實驗和受控觀察經組織和迭代形成之擴張鏈的關系，就是去分析自然數集合中一個遞歸可枚舉集能否包含某一特定的自然數。在本書第四編第二章，我們將用它來揭示哥德爾不完全定理的認識論意義。