為什么只有一種科學真實

自然數最不可思議之處是，它既可以用皮亞諾公理來表達，也可以用戴德金公理來定義，故自然數的公理亦被稱為皮亞諾-戴德金結構。在經驗上講，受控實驗或受控觀察普遍可重復，不同于受控實驗或受控觀察無限擴張。前者是關于科學經驗的真實性，后者則涉及科學經驗如何擴張。如果將這兩件事都表達為符號系統，其結構完全相同。這一點令人深思。

科學經驗的真實性和科學擴張的符號表達相同，蘊含著什么樣的認識論意義呢？根據自然數是受控實驗普遍可重復的符號結構，我們可以說自然數作為符號系統本身就是真的。這樣，從符號系統本身來講，自然數的戴德金結構必定也是真的。也就是說，當每一個自然數對應著一個（組）受控實驗，且前一個（組）受控實驗一定可以產生下一個（組）新的受控實驗時，我們可以斷言：自然數也定義了所有受控實驗。顯而易見，這一結論在經驗世界不一定成立，但自然數為真意味著受控實驗的符號表達是可以無限擴張的。也就是說，對于有限個受控實驗和受控觀察，我們總是可以在符號上給出一個和它們不同的受控實驗和受控觀察，其為受控實驗和受控觀察在符號上的擴張。這無疑表明用符號表迖所有受控實驗和受控觀察是一定可以做到的。簡而言之，自然數定義了所有作為整體的受控實驗和受控觀察的符號表達。

在所有受控實驗和受控觀察中，有的是可以重復的，有的是普遍可重復的，即是真實的。我們立即得出一個結論：個人真實和科學真實是所有受控實驗和受控觀察集合的子集合。在所有普遍可重復的受控實驗和受控觀察中，有的可以通過組織和迭代不斷擴張，有的不可以通過組織和迭代不斷擴張，它證明科學真實經驗可以分為兩種不同類型。第一種類型人人皆知，那就是我們在物理世界的科學經驗。第二種類型則要等現代科學發展到一定程度才呈現，它是主體進入虛擬世界的科學經驗。[43]自然數的皮亞諾-戴德金結構表明，上述各種經驗即受控實驗和受控觀察之間的關系都可以用自然數集合、其元素及子集合加以表達并進行研究。

自現代科學形成以來，科學家有兩個基本信念，一是大自然之書是用數學寫成的，數學研究有助于發現新的受控實驗和受控觀察。二是科學技術發展是無限的，不會在某一天終結。為什么如此？一直沒有人能回答。今天我們終于知道答案了，這正是因為科學經驗的真實性的符號表達和科學經驗擴張的符號表達相同。自然數既是普遍可重復的受控實驗和受控觀察的符號結構，又是受控實驗和受控觀察不斷擴張的符號表達，這樣一來，存在著無限個自然數不僅代表了科學經驗可以無限制擴張，[44]還意味著作為整體的受控實驗和受控觀察的不斷擴張可以用符號來研究。換言之，科學真實的發展既然是依靠普遍可重復的受控實驗和受控觀察的不斷擴張達到的，那么它在付諸實現前，其結構可以在心靈中用符號預演，這正是數學對科學經驗擴張的意義。

今天只要我們去分析任何一個普遍可重復的受控實驗和受控觀察，就會發現它們往往是由另一些普遍可重復的受控實驗和受控觀察組成的。另一些普遍可重復的受控實驗和受控觀察還可以進一步化約，最后它們可歸為人對自己和可利用事物的空間位置的選擇，用力改變事物到自己想要達到的形態等。更重要的是，所有這些“選擇”和“改變”本身也是普遍可重復的受控實驗和受控觀察，只是其可控制變量是人生來具有的罷了，我們稱其為人所擁有的基本受控實驗和受控觀察。

簡而言之，對每一個已知的普遍可重復的受控實驗和受控觀察，都可以得到一條基本受控實驗和受控觀察通過組織和迭代形成的擴張鏈，這些擴張鏈也可以按次序互相聯系起來，形成一條擴張總鏈。這條擴張總鏈構成了今日所有的普遍可重復的受控實驗和受控觀察。它就是人類掌握的科學技術，其有一個源頭，那就是人所擁有的基本受控實驗和受控觀察。所謂現代科學，就是從這一源頭不斷擴張以至延伸到無窮的鏈條罷了。

據此我們可以想象：如果存在著和人不同的主體，他們有著和我們不同的基本受控實驗和受控觀察，其掌握的科學技術是否可以和我們掌握的不相交？顯而易見，對一條從基本受控實驗和受控觀察通過組織和迭代形成的擴張鏈而言，當這條鏈的起始元素不同時，它們是不盡相同的。例如蝙蝠擁有的可觀察變量和可控制變量與人類不同，它們可感知的經驗世界（包括對客觀實在的界定）和人類明顯有別。如果科學僅僅是用符號對客觀實在做表達，蝙蝠的客觀世界及其符號表達肯定和人類不同?，F在我要問：如果蝙蝠也有意識和自由意志，它們科學世界的基本原理和人類科學世界的基本原理是否相同？科學基本原理基于普遍可重復的受控實驗和受控觀察不斷擴張的鏈，蝙蝠和人類的差別僅在于擴張鏈的起點，其相當多的部分是重合的。也就是說，擴張鏈作為整體是基本一樣的，因為它們都可以通過組織和迭代無限制地擴張。之所以會如此，是因為蝙蝠和人類生活在同一時空之中。[45]

現在，我們可以知曉為什么邏輯經驗論和分析哲學的科學觀一定是錯的，因為其把科學等同于用邏輯語言表達客觀實在。如果客觀實在對應著普遍可重復的受控觀察，自然數僅僅刻畫了主體獲得客觀實在信息的可靠性，那么我們面臨的真實經驗世界不可能隨著主體的控制活動而擴張。這樣的科學只能是某種擴大了的博物學，因為自然數集合不代表受控觀察范圍的擴大。在相應的科學理論研究中，自然數之間的關系是沒有意義的，科學理論的符號推演只是三段論式的同義反復。只有利用自然數的戴德金結構，自然數之間的關系才對應著從一個（組）已知的受控實驗如何得到另一個（組）受控實驗，以及受控實驗自我迭代及組織方式。也就是說，如果離開數學，我們無法理解什么是科學經驗真實，以及科學真實為什么可以不斷擴張。

上面我用數學代替了自然數。雖然自然數和受控實驗普遍可重復及其無限擴張存在對應，但這并不等于我們已經把所有受控實驗的結構符號化了。既然如此，又怎么能把數學研究看作受控實驗及其無限擴張的符號預演呢？雖然自然數是數學的起點，但現代科學運用的數學遠遠超過了自然數。數學是什么？它作為主體的發明為什么一定是真的？這些問題困惑哲學家已有2 000年之久，至今沒有答案。

下面我將證明：自然數對應受控實驗普遍可重復，以及通過組織和自我迭代無限擴張，這只是受控實驗一種最簡單的符號描述。除自然數外，受控實驗的各種細節都可以進一步符號化——無論是受控實驗本身，還是其普遍可重復性，抑或是其通過組織和自我迭代的無限擴張，而且所有這些符號表達都可以是自洽的。該符號系統的整體就是神秘的數學大廈。

[1] 我認為，人與動物的區別是人能自由地創造并使用符號，這是20世紀語言學革命的隱含前提，但其并未得到哲學家清晰的表達和論述。一個例外是卡西爾及其《人論》，他給出了一個著名的定義：人是符號的動物，并認為，“符號化的思維和符號化的行為是人類生活中最富于代表性的特征，并且人類文化教育的全部發展都依賴于這些條件”。然而，卡西爾對符號本身的定義稍顯含混，只提出符號是指稱者，是人類意義世界的一部分。此外，他也沒能注意到純符號系統自身可以為真。（詳見恩斯特·卡西爾：《人論》，在我看來，正是因為對符號本身缺乏一個清晰的、具有共識性的定義，語言學者持續在爭論動物（特別是黑猩猩）是否具備學習和使用符號的能力，并通過實驗得出了支持各自觀點的結論。（Mark A. Krause and Michael J. Beran, “Words Matter: Reflections on Language Projects with Chimpanzees and their Implications”, American Journal of Primatology, Vol. 82, No. 10, 2020.）本書的目標之一就是揭示什么是符號，以及“自由地創造和使用符號”到底意味著什么。

[2] 詳見金觀濤：《消失的真實》，第249—267頁。

[3] 例如，邏輯經驗主義的代表人物之一羅素提出：“在歷史上數學和邏輯是兩門完全不同的學科：數學與科學有關，邏輯與希臘文有關。但是二者在近代都有很大的發展：邏輯更數學化，數學更邏輯化，結果在二者之間不能劃出一條界線；事實上二者也確是一門學科……如果還有人不承認邏輯和數學等同，我們要向他們挑戰……”（引自《羅素文集（第3卷）：數理哲學導論》，晏書成譯，商務印書館2012年版，第225頁。）

[4] 我在《消失的真實》第二編指出，“數學被包含在邏輯之中”的觀點可追溯至亞里士多德。盡管亞里士多德沒有明確這樣講過，但早在古希臘已經出現數學的本源是被包含在形而上學（或形式邏輯）之中的看法。只有集合論嚴格地定義了符號系統的等同和包含關系后，是否可以從邏輯導出數學才轉化為有意義的探討。（參見金觀濤：《消失的真實》，第183頁。）

[5] 德國數學家高斯有一個廣泛流傳的說法：“數學是科學的皇冠，數論則是數學中的皇冠。”（引自Richard Courant and Herbert Robbins, What is Mathematics?An Elementary Approach to Ideas and Methods (Second Edition), Oxford University Press, 1996, p.21。）

[6] 自然數可以定義為“符號的序號等同于該序號表達的符號數目”，這里“數”來自經驗，故自然數是數“數”過程的符號表達。事實上，自然數對應的英文翻譯有兩個，一個是natural number，另一個則是counting number。不同的數學入門書對自然數的定義也都是“人類為了計數而發明的符號”。（例如高爾斯主編：《普林斯頓數學指南（第1卷）》，齊民友譯，科學出版社2014年版，第25頁；Richard Courant and Herbert Robbins, What is Mathematics?, p.1。）

[7] 17世紀末，數和代數學已經被視作獨立于幾何學而存在，代表人物包括牛頓、萊布尼茨、歐拉等。然而，當時的數學家并未能效仿《幾何原本》，發展出一個數和代數學的演繹推導結構。究其原因在于，幾何學的概念、公理和原理在經驗直觀上遠比算數和代數更容易理解，特別是幾何作圖有助于解釋相關原理。相較之下，無理數、負數和復數的概念要抽象得多。（M.克萊因：《數學：確定性的喪失》，李宏魁譯，湖南科學技術出版社2012年版，第161—163頁。）一直要到19世紀集合論誕生之后，人們才逐漸意識到算術和代數學與幾何學的根本差異在哪里。

[8] 這就是康托爾有關“基數”或者“勢”的理論。他提出，在有限的情況下，如果不同的元素集可以建立起一一對應的關系，我們就說它們有一樣的數量（基數或者勢）。（參見卡爾·B. 博耶：《數學史（修訂版）（下卷）》，尤塔·C.梅茲巴赫修訂，秦傳安譯，中央編譯出版社2012年版，第608頁。）

[9] 弗雷格認為自然數不是一個概念，而是對象，具有某種獨立性和實在性。但他對自然數作為對象的真實性缺乏清晰有力的論述，只是以數字4為例，含混地說道：“對于每個和4這個數打交道的人來說，4實際都是完全一樣的；但是這與空間性沒有任何關系。并非每個客觀的對象都有一個空間位置?！保▍⒁奊. 弗雷格：《算數基礎》，王路譯，商務印書館1998年版，第78頁。）

[10] 在弗雷格的數學哲學體系中，對“類”這個概念的使用是定義自然數的關鍵步驟，但這個概念在《算數基礎》中并沒得到詳盡的分析，弗雷格假定人們知道什么是一個類（概念的外延）。（詳見達米特：《弗雷格——語言哲學》，黃敏譯，商務印書館2019年版，第40—46頁。）

[11] G. 弗雷格：《算數基礎》，第84—86頁。

[12] G. 弗雷格：《算數基礎》，第85頁。

[13] G. 弗雷格：《算數基礎》，第96頁。弗雷格在定義1的時候指出：為了1的客觀合理性，對1的定義不假定任何觀察的事實。他還強調：即便所有理性的動物都進入冬眠，定義自然數的句子之真假也不會發生變化，而且完全不受影響。（G. 弗雷格：《算數基礎》，第96—97頁。）基于此，弗雷格否定了數學是一種心靈建構的說法。他區分了兩類主體活動：主觀感知和客觀認知，前者對應我們的個人感受，后者則是對客觀世界的認識過程。他還以色盲為例，指出：色盲對色彩的主觀感受肯定與常人不同，但這并不妨礙他談論“紅的”和“綠的”，因為這些顏色詞表達的通常不是人的主觀感受，而是一種客觀性質。色盲可以通過別人對顏色的區分，或者物理實驗，認識到這種性質。（G. 弗雷格：《算數基礎》，第43—44頁。）在弗雷格看來，數也是如此。問題在于，主觀感知和客觀認識的界限在哪里？它們各自的真實性基礎又是什么？對此，弗雷格并未給出清楚的解答。（對于弗雷格這一觀點的商榷，可參見Michael Dummett, Frege: Philosophy of Mathematics, Harvard University Press, 1991, p.79。）

[14] 關于弗雷格對自然數的定義，以及羅素悖論，我在《消失的真實》第三編中提供了一個相對通俗的介紹。（詳見金觀濤：《消失的真實》，第253—254頁，第259頁。）

[15] 羅素在1902年將自己發現的悖論寫信告知弗雷格（Russell, “Letter to Frege”,in Jean van Heijenoort, ed, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879—1931, Harvard University Press, 1967），弗雷格意識到自己短時間內無法解決羅素悖論，只能在自己即將出版的《算術的基本規律（第2卷）》中坦言自己的這一窘境：“即便是現在，我也沒能弄清楚……如何將數理解為一個邏輯對象并加以研究”，并附上了羅素悖論的全部論證過程。（Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic, Volumes I & II, translated and edited with an introduction by Philip A. Ebert and Marcus Rossberg, Oxford University Press, 2013, pp.253-265.）在集合論的悖論被發現之后，以及在弗雷格自己的《算數的基本規律》的形式系統中，“類”這個概念就不再被視作簡單明確的，而此時邏輯主義也就失去了大部分吸引力。最終，弗雷格在中斷數學哲學研究長達20年之后，徹底拒絕了關于類的理論，認為這個概念是語言造成的幻覺。這也使他最后放棄了邏輯主義。（達米特：《弗雷格》，第40—46頁。）

[16] 詳見胡作玄：《第三次數學危機》，四川人民出版社1985年版，第85—92頁。關于集合論悖論，一個典型例子是康托爾有關超限序數的討論。序數最常見的定義就是把每個序數等同于先于它的所有序數構成的集合。我們把從0（所有序數中最小的）到10這些序數組成集合{0，1，2，……，10}，該集合就是序數11。這就帶來一個問題，如果我們要定義一個“所有序數的集合”，這個序數一定大于集合內的每個序數，但同時它又必定屬于這個“所有序數的集合”。這就引發了悖論。康托爾提出的超限序數幫助解決了這個悖論。所謂超限數指的是大于所有有限數（自然數）的數，最小的超限序數是ω，“所有的有限序數組成的集合”就得到了自洽定義。但對所有超限序數組成的集合而言，并沒有類似ω的對應物。這樣一來，在定義“所有超限數組成的集合”的時候，就又會出現悖論。（參見Joseph Warren Dauben, Georg Cantor:His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1979,p.242; Georg Cantor, “Letter to Dedekind”, in Jean van Heijenoort, ed, From Frege to Godel, pp.113-117。

[17] 弗雷格在自己生活的時代，一直寂寂無聞，他的工作只有羅素、維特根斯坦和胡塞爾有比較準確的了解。羅素的《數學的原則》專門有一個附錄討論弗雷格，他和懷海特合著的《數學原理》在序言中特別強調“在關于邏輯分析的所有問題上，我們都主要受惠于弗雷格”。維特根斯坦的《邏輯哲學論》也在正文中反復援引“弗雷格的偉大著作”。胡塞爾的《邏輯研究》也引用了弗雷格的研究。（參見達米特：《弗雷格》，第46—47頁。）

[18] 詳見圖爾特·夏皮羅：《數學哲學：對數學的思考》，郝兆寬、楊睿之譯，復旦大學出版社2009年版，第111—120頁。

[19] 在1959年完成的《我的哲學的發展》一書中，羅素就曾抱怨說：“大家只從哲學的觀點來看《數學原理》，懷特海和我對此都表失望。對于關于矛盾的討論和是否普通數學是從純乎邏輯的前提正確地演繹出來的問題，大家很有興趣，但是對于這部書里所發現的數學技巧，大家是不感興趣的……甚至有些人，他們所研究的問題和我們的問題完全一樣，認為不值得查一查《數學原理》關于這些問題是怎么說的。”（《羅素文集（第12卷）：我的哲學的發展》，溫錫增譯，商務印書館2012年版，第85頁。）英國數學家戈弗雷·哈代還轉述過羅素的一個噩夢，在夢中，羅素來到2100年的劍橋大學圖書館，他看到一位圖書管理員帶著一個大桶在書架間來回走動，逐一拿下書架上的每本書翻閱，然后要么把書放回書架，要么把它扔進桶里。最后，他來到羅素三卷本的《數學原理》（這是世界上僅存的一套紙質版）前面；拿下書翻了幾頁之后，管理員似乎因為書中各種奇怪的符號而感到困惑，之后他合上書，在手上反復掂量、猶豫……（Godfrey Harold Hardy, A Mathematician’ s Apology, Cambridge University Press, 2012, p.83.）

[20] 關于這本書的相關信息，可訪問Hometopy Type Theory, https://homotopytype theory.org/。

[21] 哥德爾定理的提出對羅素和懷特海的《數學原理》形成致命一擊。在1930年和1931年的兩篇文章中，哥德爾先后證明《數學原理》中存在形式上無法判定真假的命題。（詳見Kurt G?del, “Some Metamathematical Results on Completeness and Consistency”; Kurt G?del, “On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”, in Jean van Heijenoort, ed, From Frege to Godel。）

[22] 任何一個數學證明都對應著一個哥德爾數，而數學推理除了運用符號等同和包含關系外，其整體必須滿足遞歸可枚舉結構。

[23] 金觀濤：《消失的真實》，第240—243頁，第309—311頁。

[24] 皮亞諾在1889年提出了9條公理來定義自然數，但其中第二至第五條公理在當代并未囊括到一般所言的“皮亞諾公理”中。（詳見Giuseppe Peano, “The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method”, in Jean van Heijenoort, ed,From Frege to Godel. p.83。）

[25] 需要說明的是，這里對皮亞諾公理的形式表達做了一些調整。在皮亞諾所處的時代，集合公理化運動還沒完成，他不可能清楚地區分集合與“類”“性質”，后兩者是經驗對象才擁有的。例如，在原初的皮亞諾公理中，會先定義起始符號1（或者0）為常量符號或自然數。此外，皮亞諾還定義了一個符號K，其指的是類或“集族”。換句話說，皮亞諾認為集合是“類”的子概念。（詳見Giuseppe Peano, “The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method”, p.94.）本書在討論皮亞諾公理的時候，省略了上述有缺陷的內容，只涉及今日數學家重新加以表述的嚴格定義。

[26] Giuseppe Peano, “The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method”,p.83.

[27] 嚴格證明參見附錄一。

[28] 事實上，在皮亞諾1908年提出的公理版本中，皮亞諾就是以0為起始符號的。（參見Giuseppe Peano, Formulario Mathematico, editio V, Turin, Bocca frères, Ch.Clausen, p.27。）

[29] 休謨建立了兩種知識類型或人類理性的研究對象。一是觀念的關系，包括幾何、代數、算術等科學，這類研究在直覺上或演繹（數學歸納法本質上是一種演繹方法）上具有確定性。它僅僅依靠思想的活動就能完成，并不依靠在宇宙中任何地方存在的東西。二是實際的事情，與之相關的一切推理都建立在因果關系上。這種關系的知識不是由先天推理獲得，而是當我們發現任何一些特定對象互相恒常地會合在一起時，完全從我們的經驗中來的。（參見大衛·休謨：《人類理智研究》，周曉亮譯，沈陽出版社2001年版，第23—26頁。）

[30] 金觀濤：《消失的真實》，第11—12頁。

[31] 實在論哲學在歷史上有著復雜的淵源流變，這里無法深究。但一般而言，實在論者傾向于認為“存在”意味著獨立于任意主體的信仰、語言行為、概念圖式等。（Alexander Miller, “Realism” , Stanford Encyclopedia of Philosophy,December 13, 2019, https://plato.stanford.edu/entries/realism/.）進入20世紀之后，也有西方學者提出新的實在論（如霍爾特等：《新實在論》，伍仁益譯，商務印書館2013年版），其中德國哲學家馬庫斯·加布里爾近年來受到很多關注，他提出了所謂“意義域”的理論，主張關注對象的意義，即對象的屬性或特質。不同對象有不同的意義，每個對象也都包含多種意義，而我們每個人日常認識的僅僅是對象的特定意義（或性質）。借此，他試圖超越傳統形而上學和后現代主義的二元對立。但問題在于，“意義域”理論預設人無法從整體上去把握世界的意義，在此基礎上，加布里爾提出一個說法：世界并不存在，而認識過程被解釋為每個個體對特定對象的特定意義的把握。（Markus Gabriel,Fields of Sense: A New Realist Ontology, Edinburgh University Press, 2015.）然而，新實在論始終無法清晰地定義什么是意義。

[32] 金觀濤：《消失的真實》，第296—304頁。

[33] 一個例子是各種視錯覺的流行，如月亮幻覺，即月亮在地平線附近的時候，會顯得比在天空中的時候更大；還有鐵道錯覺，對于在兩條收縮線中的物體，我們會認為接近收縮點的物體更大，即使它們的大小是一樣的。事實上，各種魔術之所以奏效，也是因為利用了人在接收外部信息過程中出現的各種錯覺。（參見Stephen Macknik, Susana Martinez-Conde and Sandra Blakeslee, Slei ghts of Mind: What the Neuroscience of Magic Reveals about Our Everyday Deceptions, Picador, 2011。）

[34] 關于經驗主義一般特征的總結，可參見Peter Markie and M. Folescu, “Ratio nalism vs. Empiricism”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, September 2, 2021,https://plato.stanford.edu/entries/rationalism-empiricism/。

[35] 金觀濤：《消失的真實》，第299—304頁。

[36] 20世紀信息論的奠基人是克勞德·香農，他在1948年發表的代表性論文中指出，通信的核心是主體從一組可能的信息中選擇一個信息，整個通信系統是為這一主體選擇過程設計的。（詳見Claude Elwood Shannon, “A Mathematical Theory of Communication”, The Bell System Technical Journal, Vol. 27, Issue 3, 1948。）

[37] 如前所述，把對象放到籠子里拿到觀察者面前，亦屬于這種選擇。

[38] 關于信息的嚴格定義，我在“科學的經驗：有默會知識嗎”一節給出。

[39] 一個例子是X射線的發現，德國科學家倫琴是在研究陰極射線的過程中發現了X射線的。倫琴對陰極射線的實驗設計，又受益于前人特別是德國科學家赫茲及其學生勒納德的相關實驗成果。事實上，赫茲與勒納德在自己的陰極射線研究中已經探測到X射線，但并沒能認識到兩種射線的差異。一直到等到科學界弄清楚陰極射線的本質之后，才可能將陰極射線作為可控制變量，并通過X射線去研究新的受控實驗。（參見Joseph F. Mulligan, “Heinrich Hertz and the Development of Physics”, Physics Today, Vol. 42, No. 3, 1989。）

[40] 例如，對光、原子結構、熱力學的研究進展，無疑推動了20世紀天文學家對各類星體的研究。星際化學這一天文學分支學科的出現，就源自人類對原子、分子結構認識的加深。（Laurie M Brown、Abraham Pais、Brian Pippard編：《20世紀物理學（第3卷）》，劉寄星主譯，科學出版社2015年版，第330—441頁。）然而，天文學依舊屬于受控觀察，因為人類至今不具備控制研究對象的能力。

[41] 戴德金公理是在1888年問世的。然而，當時戴德金并未明確給出自然數的定義；他給出的是4條定義單無窮集合S的公理，但指出S集合的元素是自然數或序數。倘若用現代數學語言來表達1888年公理，則如果S是一個單無窮集合，則它一定有一個子集N、一個映射f，以及N中的一個元素1，使它們滿足以下條件：第一，f（N）是N的子集；第二，1是N的元素，且對任何集合X，如果1是X的元素，且f（X）是X的子集，則N是X的子集；第三，1不是f（N）的元素；第四，f是一個單映射。（Richard Dedekind,Essays on the Theory of Numbers, authorized translation by Wooster Woodruff Beman, Dover Publications, Inc, 1963, pp.53-67.）本書所采用的是1888年公理的等價形式，其對應的是戴德金1890年寫給漢堡的一位中學校長漢斯·克費施泰因的信中對1888年公理的重新敘述，但省略了1890年公理中有關后繼元素的規定。（Richard Dedekind, “Letter to Keferstein”, in Jean van Heijenoort,ed, From Frege to Godel, p.99.）相較1888年公理，本書采用的是今日數學界從戴德金當年公理出發得到的自然數的定義。此外，在1888年公理的表達中，數學歸納法和自然數定義的關系是隱藏在整個公理結構中的。本書采用的公理表達，則在第四條公理中清晰呈現如何通過數學歸納法來定義自然數。

[42] 由一組已知受控實驗通過組織和迭代規定的新受控實驗分為兩種，一種是和已知受控實驗互相自洽的，圖1—3為由已知受控實驗自我迭代形成的新受控實驗的典型例子。另一種是和已知受控實驗矛盾的，所謂矛盾是指其可控制變量和已知受控實驗有沖突。這兩種情況都屬于受控實驗通過組織和迭代的擴張，之所以強調第二種情況，因為在量子力學中受控實驗的組織和迭代大多如此，我們將在第三編第一章討論。

[43] 《消失的真實》只分析了普遍可重復的受控實驗和受控觀察的第一種類型。關于第二種類型，我會在第三編第二章討論。

[44] 關于普遍可重復的受控實驗和受控觀察可以通過組織和迭代無限擴張的前提，見“為什么我們生活在時空之中”“物理世界和虛擬世界”二節。

[45] 為什么生活在同一時空中，不同的擴張鏈必定相交？這是因為時空測量與普遍可重復的受控實驗和受控觀察并存且互相自洽，是受控實驗和受控觀察可通過組織和迭代不斷擴張的前提，對此我在第三編第二章會具體討論。