代數的原始形態

我國在商代的早期奴隸社會里，農業、畜牧和冶煉等生產，在奴隸辛勤勞動的基礎上都比夏代有了發展。那時候人們在農業生產中長期觀察天象，由此制訂歷法，掌握了寒暖季節，能夠及時進行耕作，使農業生產繼續推進。由于天文歷法的研究必通過相當繁復的數字計算，于是數學也隨著發展起來。當時的奴隸被貴族強迫著勞動，生產的東西自己不能享用，過著牛馬一般的生活，連生命也沒有保障，因而常常起來反抗。在商末和西周時，即奴隸社會后期，奴隸主對奴隸的剝削和虐待越來越殘酷，使階級斗爭變得很激烈，更多的奴隸不斷地起來反抗，他們毀壞生產工具，并大批逃亡。因此，到后來生產逐漸萎縮，這種奴隸社會的生產關系已經成為生產力發展的障礙。到了春秋、戰國時期，奴隸社會漸漸瓦解，轉變為地主以地租形式削農民的封建社會的生產關系。這樣一來，農民生產的東西除了一部分被地主剝削去以外，還可以留一些自己享用，因而他們的勞動興趣一般要比奴隸高。由于生產關系的改變，社會生產力就顯著提高起來，隨著生產力的提高，出現了勝過原有青銅器的鐵制工具，發明了用牛拉犁耕地，工業上又有了專門工匠，商業上已由物物交換變成用金錢做交易的媒介。這些經濟上的變化也推動了各種學術向前發展。就數學方面來說，有關田地面積、倉庫容量、工程土方、商品交易、糧食分配等的計算方法，一定都產生于這時候或更早的時期。雖然沒有一本秦代以前的數學書流傳下來，但在東漢初年（公元第一世紀后期）編寫完成的《九章算術》中的大部分內容，無疑都是總結了秦以前的人民在生產實踐中的經驗而產生的。《九章算術》中除了上述的全用已知數列式計算的方法以外，還有把未知數也列入算式中的“方程”算法，這已經越出了算術的范圍，成為代數的原始形態了。方程算法和現今代數里解多元一次方程組類似，它雖然可能起源于漢代，但在世界數學史上還是最先進的。

因為在方程的算法里必須用到負數，所以《九章算術》里已經講到正負數的計算方法。在西洋數學史里面談到負數，一般都說導源于印度，其實印度在七世紀時才提出正負數的計算法則，很可能是從中國傳過去的。至于在歐洲，十五世紀的數學家還不認識負數，直到十六世紀中葉，對正負數的意義也還沒有完全領會。

中國古代算書談到方程的，除《九章算術》外，較早的還有《孫子算經》（約四世紀末）和《張丘建算經》（約五世紀）。各書所用消去未知數的方法，都是所謂“直除法”，僅有劉徽在《九章算術》方程章第七題下面的注解（公元263年）里，補充了一個不同的解法，這個解法和現今代數里經過互乘的“加減消元法”完全一樣①[_{①從現傳的“微波榭”刊本《孫子算經》里，我們看到卷下的第28題是一個方程問題，它的解法和劉微在《九章算術》方程章第七題下面所注的一樣，是互乘而不是直除，但是，根據南宋刻本《孫子算經》（孤本現存上海圖書館），知道《孫子算經》原本也用直除，而現傳本是經過清代戴震校訂的，他在卷下第28題的解法中加了二十三個字，于是就把原來的直除相消改作互乘相消了。}]，這里先把正負數的計算作一簡略記述后，再分別舉例介紹方程的兩種解法。