代數(shù)的原始形態(tài)

我國(guó)在商代的早期奴隸社會(huì)里，農(nóng)業(yè)、畜牧和冶煉等生產(chǎn)，在奴隸辛勤勞動(dòng)的基礎(chǔ)上都比夏代有了發(fā)展。那時(shí)候人們?cè)谵r(nóng)業(yè)生產(chǎn)中長(zhǎng)期觀察天象，由此制訂歷法，掌握了寒暖季節(jié)，能夠及時(shí)進(jìn)行耕作，使農(nóng)業(yè)生產(chǎn)繼續(xù)推進(jìn)。由于天文歷法的研究必通過(guò)相當(dāng)繁復(fù)的數(shù)字計(jì)算，于是數(shù)學(xué)也隨著發(fā)展起來(lái)。當(dāng)時(shí)的奴隸被貴族強(qiáng)迫著勞動(dòng)，生產(chǎn)的東西自己不能享用，過(guò)著牛馬一般的生活，連生命也沒(méi)有保障，因而常常起來(lái)反抗。在商末和西周時(shí)，即奴隸社會(huì)后期，奴隸主對(duì)奴隸的剝削和虐待越來(lái)越殘酷，使階級(jí)斗爭(zhēng)變得很激烈，更多的奴隸不斷地起來(lái)反抗，他們毀壞生產(chǎn)工具，并大批逃亡。因此，到后來(lái)生產(chǎn)逐漸萎縮，這種奴隸社會(huì)的生產(chǎn)關(guān)系已經(jīng)成為生產(chǎn)力發(fā)展的障礙。到了春秋、戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，奴隸社會(huì)漸漸瓦解，轉(zhuǎn)變?yōu)榈刂饕缘刈庑问较鬓r(nóng)民的封建社會(huì)的生產(chǎn)關(guān)系。這樣一來(lái)，農(nóng)民生產(chǎn)的東西除了一部分被地主剝削去以外，還可以留一些自己享用，因而他們的勞動(dòng)興趣一般要比奴隸高。由于生產(chǎn)關(guān)系的改變，社會(huì)生產(chǎn)力就顯著提高起來(lái)，隨著生產(chǎn)力的提高，出現(xiàn)了勝過(guò)原有青銅器的鐵制工具，發(fā)明了用牛拉犁耕地，工業(yè)上又有了專(zhuān)門(mén)工匠，商業(yè)上已由物物交換變成用金錢(qián)做交易的媒介。這些經(jīng)濟(jì)上的變化也推動(dòng)了各種學(xué)術(shù)向前發(fā)展。就數(shù)學(xué)方面來(lái)說(shuō)，有關(guān)田地面積、倉(cāng)庫(kù)容量、工程土方、商品交易、糧食分配等的計(jì)算方法，一定都產(chǎn)生于這時(shí)候或更早的時(shí)期。雖然沒(méi)有一本秦代以前的數(shù)學(xué)書(shū)流傳下來(lái)，但在東漢初年（公元第一世紀(jì)后期）編寫(xiě)完成的《九章算術(shù)》中的大部分內(nèi)容，無(wú)疑都是總結(jié)了秦以前的人民在生產(chǎn)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)而產(chǎn)生的。《九章算術(shù)》中除了上述的全用已知數(shù)列式計(jì)算的方法以外，還有把未知數(shù)也列入算式中的“方程”算法，這已經(jīng)越出了算術(shù)的范圍，成為代數(shù)的原始形態(tài)了。方程算法和現(xiàn)今代數(shù)里解多元一次方程組類(lèi)似，它雖然可能起源于漢代，但在世界數(shù)學(xué)史上還是最先進(jìn)的。

因?yàn)樵诜匠痰乃惴ɡ锉仨氂玫截?fù)數(shù)，所以《九章算術(shù)》里已經(jīng)講到正負(fù)數(shù)的計(jì)算方法。在西洋數(shù)學(xué)史里面談到負(fù)數(shù)，一般都說(shuō)導(dǎo)源于印度，其實(shí)印度在七世紀(jì)時(shí)才提出正負(fù)數(shù)的計(jì)算法則，很可能是從中國(guó)傳過(guò)去的。至于在歐洲，十五世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還不認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，直到十六世紀(jì)中葉，對(duì)正負(fù)數(shù)的意義也還沒(méi)有完全領(lǐng)會(huì)。

中國(guó)古代算書(shū)談到方程的，除《九章算術(shù)》外，較早的還有《孫子算經(jīng)》（約四世紀(jì)末）和《張丘建算經(jīng)》（約五世紀(jì)）。各書(shū)所用消去未知數(shù)的方法，都是所謂“直除法”，僅有劉徽在《九章算術(shù)》方程章第七題下面的注解（公元263年）里，補(bǔ)充了一個(gè)不同的解法，這個(gè)解法和現(xiàn)今代數(shù)里經(jīng)過(guò)互乘的“加減消元法”完全一樣①[_{①?gòu)默F(xiàn)傳的“微波榭”刊本《孫子算經(jīng)》里，我們看到卷下的第28題是一個(gè)方程問(wèn)題，它的解法和劉微在《九章算術(shù)》方程章第七題下面所注的一樣，是互乘而不是直除，但是，根據(jù)南宋刻本《孫子算經(jīng)》（孤本現(xiàn)存上海圖書(shū)館），知道《孫子算經(jīng)》原本也用直除，而現(xiàn)傳本是經(jīng)過(guò)清代戴震校訂的，他在卷下第28題的解法中加了二十三個(gè)字，于是就把原來(lái)的直除相消改作互乘相消了。}]，這里先把正負(fù)數(shù)的計(jì)算作一簡(jiǎn)略記述后，再分別舉例介紹方程的兩種解法。