二、開方術(shù)與無理數(shù)的最早提出

無理數(shù)與無限觀念關(guān)系密切。首先，無理數(shù)本身就是無限不循環(huán)小數(shù)，對于古人來說，它無法化約為人們熟知的可公度量之比。這使得無理數(shù)經(jīng)歷了一個曲折的過程方才為西方文明所正視和研究。已知正方形面積求邊長的實際運算中遇到的對不完全平方數(shù)開平方運算，有可能是人們與無理數(shù)的最早接觸。

在一些古文明中，位值制記數(shù)法很早就出現(xiàn)，這使得在這些文明中開方術(shù)的發(fā)展相對容易。所謂位值制記數(shù)法，就是每個數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個數(shù)碼本身，還要看它所處的數(shù)位。例如現(xiàn)代通用的阿拉伯數(shù)字記數(shù)法屬于十進位制值，即只需要10個數(shù)碼就可代表一切數(shù)值。

位值制最早出現(xiàn)于在亞述——古巴比倫文明之中。(30)大約公元前2350年，這里的人們用表示1，重復(fù)該刻畫來表示2—9，這些數(shù)字可用于任何數(shù)位，此外設(shè)置表示10，表示100，表示1000等。學(xué)習(xí)者因此只需記住表示1、10、100、1000的符號。公元前1800年前后，古巴比倫人進一步去除了表示百、千、萬的符號，只保留了和兩個符號，通過兩種符號的疊加，來表示任意較大數(shù)字。(31)如48記為。兩河文明通行六十進位制，該符號既可表示48，也可表示為48×60，還可表示為48×60×60，具體數(shù)值取決于這個符號所處的數(shù)位。再如，其中表示1的符號位于表示40的符號之前，則實際上表示的是1×60，整個數(shù)字是1×60+40=100。更復(fù)雜的則表示36×60×60+3×60+48=129828。既然數(shù)位能夠以便利的方式無限制增加，那么無休止地把開方運算進行下去在形式上也就不再困難，唯一需要的就是可行的重復(fù)運算的程序。

古巴比倫人很可能于將近四千年前就發(fā)現(xiàn)了的計算程序。在一塊年代為公元前1800—前1600年之間的泥版上，畫著正方形及其對角線，圖形中央用六十進制的方式顯示=1;24,51,10，這有可能是截取了分數(shù)577/408=1;24,51,10,35...的前三位六十進小數(shù)，這個分數(shù)可能是通過以下逐漸逼近取近似值的方法獲得的，即找到一系列自然數(shù)m、n，使得m2=2n2-1或m2=2n2+1，這樣就等于或，如果m、n足夠大，則就趨近于。巴比倫人取m=577，n=408，使的近似值達到了很高精度。(32)顯然，只要計算者樂意，就能找到更大的m和n，從而得出更精確的的近似值。

圖1-2　巴比倫泥版

中國古代的算籌記數(shù)法是最早的成熟的十進位值制記數(shù)法，其相鄰數(shù)位縱橫交錯的布籌變化形式顯然源于甲骨文數(shù)字中個位數(shù)和十位數(shù)的縱橫變化。(33)到春秋時期，算籌記數(shù)法的使用已經(jīng)非常普遍。中國古代的開方術(shù)最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》中陳子用勾股定理求“邪至日”的距離，但沒有給出開方程序。開方程序的出現(xiàn)與方程術(shù)聯(lián)系緊密。成書于西漢的《九章算術(shù)》“少廣章”中提出了完整的開平方、開立方程序。在形式上“作四行布算”，第一行是作為運算結(jié)果的“議得”，第二行是被開方數(shù)，第三行是“法”，除第1次運算為1外，其余皆為2（“定法”），最后一行是從被開方數(shù)每隔1位數(shù)移1次，作為標記的“借算”。對于帶分數(shù)，先經(jīng)通分化為假分數(shù)。例如要求的平方根，先將其數(shù)化為2259009/4，以2259009為被開方數(shù)，進行布算。通過借算知結(jié)果為4位數(shù)字（設(shè)為），先議得其千位a=1，以其除實的百萬位2，得1并余1；重新借算到萬位，實為125，議得百位b實際上是方程（2×10a+x）·x=125的正數(shù)解（其中a=1，2為法）的整數(shù)部分，解得b為5，除實后余數(shù)為0；再借算到百位，實為90，議得十位c是（2×150+x）·x=90的正數(shù)解的整數(shù)部分，解得c=0，除實后余數(shù)為90；借算到個位，實為9009，議得個位d是（2×1500+x）·x=9009的正數(shù)解的整數(shù)部分，解得d=3，除實正好除盡，則2259009的平方根為1503，再除以分母2，得最后結(jié)果為1503/2。對于“開之不盡”，即根為無理數(shù)的情況，《九章算術(shù)》稱其為“不可開，當以面命之”，即以其根命名為一個分數(shù)。“開立方術(shù)”的表述與之相仿，只是布算需要五行，而議得的過程改為尋找三次方程的解的整數(shù)部分。(34)很顯然，中國古代的開方術(shù)具有鮮明的特色。

在缺乏位值制的其他文明中，計算平方根大多依賴于非程序化的近似公式。例如在古印度繩法經(jīng)（?ulba-sūtra，約公元前5世紀）里記載的計算平方根的公式：對于所求數(shù)字A，其最近的完全平方數(shù)為a2，令r=A-a2，則。例如要求55的平方根，代入公式得（精確到小數(shù)點后五位）。(35)這個求根公式的優(yōu)點是能夠較方便地計算出任意數(shù)字平方根的近似值，但它不是程序化的，因而無法無窮無盡地逼近精確值，而且在r值較大的情況下，計算結(jié)果誤差較大。

有近似公式有總比沒有強。古希臘人起初認為按照可公度性，任意數(shù)字都應(yīng)當能夠相互以整數(shù)的比例的形式表示出來。但公元前5世紀時，畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)正整數(shù)的平方根都無法完美地以比例來表示。這使得他們引以為豪但同時需要開方運算的勾股定理黯然失色，因此畢達哥拉斯學(xué)派憤怒地處死了發(fā)現(xiàn)這一秘密的門徒，并將這個缺陷秘而不宣。然而無理數(shù)的存在很快就由泰阿泰德（Theaetetus）給出嚴格證明。盡管無理數(shù)的神秘性漸趨消失，但古希臘人仍然拒絕承認這種無法表達為兩個整數(shù)之比的無理數(shù)為真正的數(shù)字。以為代表的無理數(shù)使古希臘人不知所措，原本被認為已經(jīng)完美的數(shù)字體系在分數(shù)之外，顯然出現(xiàn)了大量空隙，這與極限思想（“芝諾悖論”）共同構(gòu)成了“第一次數(shù)學(xué)危機”。危機造成的影響扭轉(zhuǎn)了古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的道路。代數(shù)學(xué)研究在古希臘長期陷于停滯，直到公元3世紀才由受巴比倫數(shù)學(xué)影響甚深的丟番圖（Diophantus）重新予以系統(tǒng)化。同時，開平方在幾何上又具有不容忽略的實際意義，歐多克索斯（Eudoxus）以降的以埃及亞歷山大里亞城為學(xué)術(shù)中心的古希臘學(xué)者，只能一邊修補既往算術(shù)理論的漏洞，一邊探索幾何學(xué)公理化的道路。對于求平方根，直到幾百年后，亞歷山大里亞的希羅（Hero of Alexandria）才給出了一個粗略計算平方根的公式：，其中a是距離A最近的完全平方數(shù)的正平方根。(36)