三、圓周率、圓的面積和球的體積

盡管在理論上，古典時代的學者們受困于逾越既往認識的無限概念，但他們仍然精彩地把無限思想付諸數學實踐。其中一個重要的方面就是計算與圓相關的問題，包括求圓的面積、球的體積以及圓周率。

在古希臘之前，人們計算圓面積的方法多來自經驗性的丈量。而古希臘人則試圖用數學方法將其徹底解決。公元前5世紀中葉，希波克拉底（Hippocrates，不是同名醫學家）證明出兩圓相交后圓弧圍成的弓形面積，等于小圓直徑與大圓半徑圍成的三角形面積。由于弓形是全部由曲線構成的圖形，這就為計算圓面積帶來了希望。希波克拉底還證明了圓盤的面積與以其直徑為周長的方形面積成比例（即π/4）。(37)希皮亞斯（Hippias）運用割圓曲線化圓為方，進而求出圓面積，問題在于這只是從幾何上得出等面積，而不是精確的數字結果，它沒有解決圓周率的問題。(38)同時代的安提豐（Antiphon）和布賴森（Bryson）則最早提出用窮竭法來計算圓面積的思路。他們認為把正六邊形的邊數不斷倍增，最后這個正多邊形就會變成圓形。布賴森還構想計算圓的外切多邊形和內接多邊形的面積，圓的面積就介于二者之間。但他們的設想并沒有發展到實際計算階段。不久，歐多克索斯利用窮竭法，證明了“圓的周長與其半徑之比為常數”，他設r與r’為兩個不同正數，分別以它們為半徑，作圓O和O’，在兩個圓內各作內接正n邊形，其周長分別為C_n和C_n’。由于這兩個正n邊形為相似形，所以。當n變大時，C_n和C_n’趨近于圓的周長，使得，這個固定比值就是圓周率的2倍。(39)以上這些學者的工作為阿基米德的割圓術作好了準備。

阿基米德最早在窮竭思想的基礎上發展出割圓算法，只要無限次地把圓細割，就能求得不斷縮小的圓周率取值區間，這樣就把經驗性的丈量轉化為純粹的程序化計算。他先分割圓的切線，這樣π大于圓外切多邊形邊長與直徑的比值a。再以圓內接多邊形，于是π小于其邊長與直徑之比b。當計算到96邊形時，阿基米德得到(40)利用類似手段，阿基米德繼續用歸謬法證明了球的表面積為其大圓面積的4倍，以及球的體積是以其大圓為底、直徑為高的圓柱體的2/3。(41)使用歸謬法，意味著其過程就是證明“既不能大于，也不能小于，而只能等于”。從1906年發現的阿基米德《方法論》中，可以知道為了得出諸如2/3這樣的數字，阿基米德還結合了他所熟悉的杠桿原理，以及先將體積切成極薄的“薄片”后運用積分思想進行累加計算的方法。阿基米德通過計算球體積，在整個古代數學史上樹立起一座高峰。(42)

天才的先進思想有時也難以擺脫傳統的束縛，從而顯現出保守的一面。阿基米德的割圓術也體現了這一點。盡管他在計算中應用了無窮，但卻小心地避免直接提到任何有關無窮或極限的字眼。(43)事實上，歐洲數學家直到17世紀才普遍接受無窮的觀念。與之相比，中國三國時代劉徽的割圓術就后來居上，在無窮方面走得更遠。

劉徽認為“圓出于方”，以周長的一半為從，半徑為廣，“廣從相乘為積步也”，即圓面積S=C/2×r（C為周長，r為半徑）。其證明主要分四步。首先，他提出圓內接正六邊形邊長與半徑相等，這樣求得圓周率約等于3。接下來以圓內接六邊形為起點開始割圓，依次得到圓內接正12邊形和正24邊形，“割之彌細，所失彌少”，即圓面積與正多邊形面積之差越小，最終“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。接下來，劉徽指出，圓與內接正多邊形之間，還形成高為微小的“余徑”，底為正多邊形邊長的弓形，當割圓到極限后，正多邊形與圓重合，“則表無余徑”，這時正多邊形每一條邊到圓心距離就等于半徑r。最后，劉徽對與圓周重合的正多邊形“每輒自倍”，無窮分割，分成無窮多個小等腰三角形，每個小三角形面積等于正多邊形（邊數為n）邊長l_n的一半乘以高r，圓面積就是這些小三角形面積之和，即S=n·l_n/2·r，這些小三角形底邊合起來就是圓周長C，那么就證得圓面積S=C/2·r。

劉徽的割圓術是明確的求極限過程，他把圓定義成邊數為無限的正多邊形，其每條邊實際上退化為點，組成的小等腰三角形實際化為長為r的直線形。無限小的直線形相當于面積元素或微分，求其和相當于求這些面積元素的積分。劉徽的思想從而架起通向微積分學的橋梁。而且他只用圓內接正多邊形，比古希臘人同時計算圓內接和外切正多邊形更為簡捷。(44)

劉徽還把極限思想應用于近似計算中，其中一個例子就是求解圓周率。他在《九章算術》注中給出“更造密率”之法，即從圓內接正六邊形出發割圓。一開始他給出了割得正96邊形后的結果157/50=3.14，但這一結果“猶為微少”，于是劉徽又割到正3072邊形，得出π≈3927/1250=3.1416。劉徽計算圓周率的程序與證明圓面積公式的方法關系密切，是“以面乘余徑”的具體化。理論上說，依照劉徽的程序，要割多細、計算多精確，都可以完成。這使得劉徽在這一方面趕超了阿基米德。南北朝時期，祖沖之繼續發展劉徽方法割到圓內接6×211邊形，并結合調日法等算法，進一步得到圓周率355/113。(45)

與阿基米德用歸謬法計算球體積不同，中國古代對這一問題使用無窮小分割方法。在《九章算術》注中，劉徽設計了“牟合方蓋”，即將兩個相等圓柱正交后的公共部分。劉徽指出，半徑等于圓柱底面半徑的球體積與牟合方蓋之比為π:4。只要求出牟合方蓋體積，就能求出球體積。遺憾的是，劉徽沒有求出牟合方蓋的體積。劉徽之后約200年，南朝數學家祖暅之給出開立圓術，成功解決了這一問題。祖暅之首先概括出一個原理：如果兩個立方體任意等高處的截面積相等，則它們的體積也必然相等（這相當于17世紀歐洲人卡瓦列里〔Bonaventura Francesco Cavalieri〕提出的原理）。接下來，取牟合方蓋所在立方體的八分之一的小正方體，切割出牟合方蓋后剩余的部分可以分為三部分，稱為“外三棊”，其截面積恰等于一個長、寬、高均為球半徑的錐體（“陽馬”）的相應截面積。根據前述原理，則外三棊體積之和與該陽馬體積相等，即等于小正方體的1/3，這樣就證明了牟合方蓋體積是其外切正方體體積的2/3。而球體積則是該正方體體積的π/6。祖暅之的高明之處在于，他在不同形狀截面的立方體之間應用祖暅之原理，而且截面積變化率也是非線性的，這表明他對該原理以及無窮觀念的認識比劉徽又進了一大步。(46)