三、《周髀算經》的重新解讀

第二則新的闡釋出自《周髀算經》第一章中的周公與商高的對話。具體如下：周公問：“竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數從安出？”商高答：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩也以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半其一矩，環而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。”(13)

傳統的認識主要集中在“勾廣三，股修四，徑隅五”的解讀，當前的新研究集中于“既方之外，半其一矩，環而共盤。……是謂積矩”的解讀。西北大學曲安京教授綜合前輩學者——美國加州大學圣地亞哥分校物理學家程貞一，中國臺灣學者陳良佐，中國大陸西北大學學者李繼閔——的意見后認為，商高已經給出了勾股定理的一般性證明。“既方其外，半其一矩，環而共盤。……是謂積矩”的證明過程可以分為如下四個步驟：“從圖4到圖6（參見下圖），整個過程與勾股弦三邊的具體設定數值是沒有關系的。毫無疑問，這是勾股定理的一個嚴格的證明。而商高以勾三股四弦五為例，演示這個構造性證明的程序，正好符合中算家一貫采用的‘寓理于算’的傳統風格，所以說，商高給出的決不僅僅是一則勾股形的特例，事實上，商高已經成功地完成了對勾股定理的一般性證明。”(14)

值得注意的是，上述商高的對話僅有勾股定理的特例表述，沒有勾股定理的普遍性表述，卻有勾股定理的證明，它不符合伽利略所說的定理發現早于定理證明的觀點。換言之，《周髀算經》中上述商高的對話既包括特例表述，又包括定理證明，卻沒有普遍性表述，是有違“常理”的。此常理應當說是當代的常理，它遵循著先有特例，其次有普遍性表述，然后證明的先后順序。這是按照當代的觀點，或者西方的觀點理解中國古代的數學思想。

古代中國的數學未必在所有情況下都遵循著這一原則，它一直采用“寓理于算”的傳統思路。上述的“理”（即當代所說的證明）只是給商高所說的“勾廣三，股修四，徑隅五”提供一個理由，這一個理由不是丈量土地之類的經驗意義的證實，它是從學理上給出一個說明。當代的證明往往是針對普遍性的表述給出證明，古代中國的“理”，是大凡一事都應當有一個邏輯的說明。換言之，“勾廣三，股修四，徑隅五”不是依靠著丈量而出，它是依靠著上述邏輯推論和計算得出的必然性結論。這符合數學本質是證明的思路。

另外一個值得重視的問題是，上述商高關于定理的證明是通過計算而實現的，這是“寓理于算”思路的明顯體現（此后三國時期趙爽的證明也是“寓理于算”的類似思路）。

勾2+股2+2×勾×股（兩個長方形面積）=正方形面積

徑2+2×勾×股（四個三角形面積）=正方形面積

→勾2+股2=徑2

與此對照的是，古希臘人的證明不是通過計算得到，他們是通過面積替換的純粹幾何方法（與計算無關）而得到。如下是歐幾里德《幾何原本》中的證明步驟：(15)

古代中國和古希臘究竟是關于勾股定理的不同證明思路，還是否定另外一種文明的證明思路呢？亞里士多德（Aristotle）在《后分析》第一卷第七章中強調，論證事物不能超越其類的事物作為出發點。“屬于幾何學的問題，不能用算術來證明。”“從一個種跨到另一個種不可能證明一個事實，例如通過算術證明幾何命題。證明有三個因素：（1）有待于證明的結論（它是就自身而歸屬于某個種的屬性）；（2）公理（公理是證明的基礎）；（3）載體性的種及其規定即依據自身的屬性由證明揭示。如果種互不相同，如算術和幾何，即使證明的基礎是同一的，算術的證明也不可能適用于量值的屬性，除非量值是數目。”(16)如果亞里士多德的觀點是正確的，那么中國“寓理于算”的思路本質上不可能完成勾股定理的證明，這實際上取消和否定了整個古代中國的數學傳統。不僅《周髀算經》，而且其后三國時期的趙爽，乃至于中國“形數合一”，阻礙了幾何原理的證明。這有違古代中國的事實。

算數與幾何證明是無關的，這是古希臘的數學證明傳統。畢達哥拉斯定理的證明是一個明證，這也是人類思想史領域的重要發展。能夠運用幾何方法證明代數的結論是一個重要的進展。能夠純粹用幾何方法證明幾何結論，也是古希臘人對人類數學的貢獻。英國哲學家羅素（William Russell）認為：“這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。柏拉圖（Plato）對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成于歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如（a+b）2=a2+2ab+b2。”(17)

承認古希臘的幾何與代數分離傳統的價值，不應當以否定古代中國數學傳統為代價。吳文俊先生認為：“與希臘歐幾里德幾何的形數割裂者恰恰相反，我國在數學發展過程中自始至終是把空間形式與數量關系融合在一起的，因而數系統的建立與臻于完備，以及代數學的發生發展，也始終與幾何學的發展貫穿在一起。到宋元之世天元——也即未知數概念的明確引入，代數式與其代數運算的闡明，以及幾何代數化方法的逐漸成熟，更為解析幾何的創立開辟了道路。”(18)中國的勾股定理證明不是按照古希臘數學的方式發展，它是按照數形統一的方式進行證明，幾何學與算學是聯系在一起的。商高的證明如此，趙爽的證明也是如此。

如果承認吳文俊先生的看法是對的，如果承認古代中國數學傳統的合理性，那么亞里士多德“算術不可能完成幾何證明”的觀點也有可能是錯誤的。亞里士多德錯誤的原因是，他可以斷言自己文明的合理性，強調幾何學與代數學分離的重要性，以及純粹幾何學證明的合理性。但是他不能斷言其他文明的多元可能性。從邏輯上講，斷言“不可能”，斷言“無”，是極其困難的。亞里士多德斷言幾何命題不可能通過算學證明，這背離了古代中國的具體事實。筆者同意吳先生的判斷，應當從古代中國的具體事實出發去理解。古希臘的貢獻是重要的，但不是唯一的，甚至也不是唯一的標準。從中國的觀點和立場出發，有助于反思古希臘的若干重要觀點，甚至能夠修正亞里士多德的局部錯誤，從而發展出一種更為全面、更具有全球性的理解。這是古代中西交流和古代中西比較的重要價值。

站在中國的立場上，我們并沒有否定古希臘的價值，而是同時承認多種文化、不同思想傳統的價值。這一點是重要的，我們認可古希臘幾何學與算學分離的意義，只是我們也同時承認幾何學與算學的結合，即“寓理于算”的重要性。