三 解答如何產生——交差原理

“昨天講的最后三個例子，你們總沒有忘掉吧！——若是這樣健忘，那就連吃飯、走路都學不會了?！瘪R先生一走進門，還沒立定，笑嘻嘻地這樣開場。大家自然只是報以微笑。于是馬先生口若懸河地開始這一課的講演。

昨天的最后三個例子，圖上都是一條直線，各條直線都表出了兩個量所保有的一定關系。從直線上的任意一點，往橫看又往下看，馬上就知道了，合于某種條件的甲量是什么，乙量便是怎樣。如圖 7，合于每小時走二里這條件，4小時便走了8里，5小時便走了10里。

當然，這種圖，對于我們很有用。比如說，你有個弟弟，每小時可走六里路，他離開你出門去了。你若照樣畫一張圖，他離開你后，你坐在屋里，只要看看表，他走了多久，再看看圖，就可以知道他離你有多遠了。倘若你還清楚這條路沿途的地名，你當然可以知道他已到了什么地方，還要多長時間才能到達目的地。倘若他走后，你突然想起什么事，需得關照他，正好有長途電話可用，只要沿途有地點可以和他通電話，你豈不是很容易找到打電話的時間和通話的地點嗎？

這是一件很巧妙的事，已落了中國舊小說無巧不成書的老套。古往今來，有幾個人會碰巧遇見這樣的事？這有什么用場？你也許要這樣扳差頭。然而這只是一個用來打比方的例子，照這樣推想，我們一定能夠繪制出一幅地球和月亮運行的圖吧。從這上面，豈不是在屋里就可以看出任何時間段地球和月亮的相互位置嗎？這豈不是有了孟子所說的“天之高也，星辰之遠也，茍求其故，千歲之日至，可坐而致也”那副神氣嗎？算學的野心，就是想把宇宙間的一切法則，統括在幾個式子或幾張圖上。這就是它的“全體大用”。

現在看來，這似乎是犯了夸大狂的說法，姑且丟開，轉到本題。算術上計算一道題，除了混合比例那一類以外，總只有一個解答，這解答靠昨天所講過的那種圖，可以得出來嗎？

當然可以，我們不是能夠從圖上看出張老大得九塊錢的時候，宋阿二得的是六塊錢嗎？

不過，雖然這種辦法對于這樣簡單的題目可以得出來，但遇見較復雜的題目時，就很不便當了。比如將題目改成這樣：

張老大、宋阿二分十五塊錢，怎樣分法，張老大才能比宋阿二多得三塊？

當然我們可以這樣老老實實地去把解法找出來：張老大拿十五塊的時候，宋阿二一塊都拿不到，相差的是十五塊。張老大拿十四塊的時候，宋阿二可得一塊，相差的是十三塊……這樣一直看到張老大拿九塊，宋阿二得六塊，相差正好是三塊，這便是解答。

這樣的做法，即使是對于這個很簡單的題目，也需做到六次，才能得出答案。較復雜的題目，或是題上數目較大的，那就不勝其煩了。

而且，這樣的做法，實在和買彩票差不多。從張老大拿十五塊，宋阿二得不著，相差十五塊，不對題；馬上就跳到張老大拿十四塊，宋阿二得一塊，相差十三塊，實在太膽大。為什么不看一看，張老大拿十四塊九角，十四塊八角……乃至于十四塊九角九分九九九……的時候怎樣呢？

喔！若是這樣，那還了得！從十五到九中間有無限的數，要依次看去，人壽幾何？而且比十五稍稍小一點兒的數，誰看見過它的面孔是圓的還是方的？

老老實實的辦法，就不是辦法！人是有理性的動物，變戲法要變得省力氣、有把握，才會得到看客的贊賞呀！你們讀過《伊索寓言》吧？里面不是說人學的豬叫比真的豬叫，更叫人滿意嗎？

所以找算術上的解法必須更巧妙一些。這樣，就來講交差原理。

照昨天的說法，我們無妨假設，兩個量間有一定的關系，可以用一條線表示出來。——這里說假設，是虛心的說法，因為我們只講過三個例子，不便就冒冒失失地概括一切。其實，兩個量的關系，用圖線（不一定是直線）表示，只要這兩個量是實量，總是可能的?！敲聪駝倓偱e的這個例題，既包含兩種關系：第一，兩個人所得的錢的總和是十五塊；第二，兩個人所得的錢的差是三塊。當然每種關系都可畫一條線來表示。

所謂一條線表示兩個數量的一種關系，精確地說，就是：無論從那條線上的哪一點，橫看和豎看所得的兩個數量都有同一的關系。

假如，表示兩個數量的兩種關系的兩條直線是交叉的，那么，相交的地方當然是一個點，這個點便是一子雙挑了，它繼承這一房的產業，同時也繼承另一房的產業。所以，由這一點橫看豎看所得出的兩個數量，既保有第一條線所表示的關系，同時也保有第二條線所表示的關系。換句話說，便是這兩個數量同時具有題上的兩個關系。

這樣的兩個數量，不用說，當然是題上所要的答案。試將前面的例題畫出圖來看，那就非常明晰了。

第一個條件，“張老大、宋阿二分十五塊錢”，這是兩人所得的錢的和一定，用線表出來，便是 AB。

第二個條件，“張老大比宋阿二多得三塊錢”，這是兩人所得的錢的差一定，用線表出來，便是 CD。

AB和CD相交于E，就是E點既在AB上，同時也在CD上，所以兩條線所表示的條件，它都包含。

由E橫看過去，張老大得的是九塊錢；豎看下來，宋阿二得的是六塊錢。

正好，九塊加六塊等于十五塊，就是 AB 線所表示的關系。而九塊比六塊多三塊，就是 CD 線所表示的關系。

E點，毫無疑問正是本題的解答。

“兩線的交點同時包含著兩線所表示的關系。”這就是交差原理。順水推舟，就這原理再補充幾句。

兩線不止一個交點怎么辦？

那就是這題不止一個答案。不過，此話是后話，暫且不表出，以后連續的若干次講演中都不會遇見這種情形。

兩線沒有交點怎樣？那就是這題沒有解答。沒有解答還成題嗎？

不客氣地說，你可以認為這題不通；客氣一點兒，你就說，這題不可能。所謂不可能，就是指照題上所給的條件，它所求的答案是不存在的。

比如前面的例題，第二個條件，換成“張老大比宋阿二多得十六塊錢”，畫出圖來，兩直線便沒有交點，如圖 9。事實上，這非常清晰，兩個人分十五塊錢，無論怎樣，不會有一個人比另一個人多得十六塊的。只有兩人暫時將它放著生利息，連本帶利到了十六塊以上再來分，然而，這已超出題目的范圍了。

教科書上的題目，是著書的人為了幫助學習的人練習編造出來的，所以，只要不是排錯，都會得出答案。至于到了實際生活中，那就不一定有這樣的好運。因此，注意題目是否成立，假如不成立，解釋這不成立的理由，都是學習算學的人應當做的工作。