二 怎樣具體地表出數(shù)量以及兩個數(shù)量之間的關系

學習一種東西，首先要把學習態(tài)度端正好。現(xiàn)在一般人學習，只是用耳朵聽先生講，把講的牢牢記住。用眼睛看先生寫，用手照抄下來，也牢牢記住。這正如拿著口袋到米店去買米，付了錢，讓別人將米倒在口袋里，自己背回家就完事大吉一樣。把一口袋米放在家里，肚子就不會餓了嗎？買米的目的，是為了把它做成飯，吃到肚里，將飯消化了，吸收生理上所需要的，將不需要的污穢排泄。所以飯得自己煮，自己吃，自己消化，自己吸收養(yǎng)料，污穢得自己排。就算是買的飯，飯是別人喂到嘴里去的，但進嘴以后的一切工作也只有靠自己了。學校的先生所能給予學生的只是生米和煮飯的方法，最多是飯，喂到嘴里的事，就要靠學生自己了。所以學習是要把先生所給的米變成飯，自己嚼，自己消化，自己吸收，自己排泄。教科書要成一本教科書，少不了材料，先生給學生講課也有少不來的話，正如米要成米少不了必需的成分一樣，但對于學生不是全有用場，所以讀書有些是用不到記的，正如吃飯有些要排出來一樣。

上面說的是學習的基本態(tài)度——自己消化、吸收、排泄。怎樣消化、吸收、排泄呢？學習和研究這兩個詞，大多數(shù)人都在亂用。讀一篇小說，就是在研究文學，這是錯的。不過學習和研究的態(tài)度應當一樣。研究應當依照科學方法，學習也應當依照科學方法。所謂科學方法，就是從觀察和實驗收集材料，加以分析、綜合整理。學習也應當如此。要明了“的”字的用法，必須先留心各式各樣含有“的”字的句子，然后比較、分析……

算學，就初等范圍內說離不開數(shù)和量，而數(shù)和量都是抽象的，兩條板凳和三支筆是具體的，“兩條”“三支”以及“兩”和“三”全是抽象的。抽象的，按理說是無法觀察和實驗的。然而為了學習，我們無妨開一個方便法門，將它具體化。昨天我四歲的小女兒跑來向我要五個銅板，我忽然想到測試她認識數(shù)量的能力，先只給她三個。她說只有三個，我便問她還差幾個。于是她把左手的五指伸出來，右手將左手的中指、無名指和小指捏住，看了看，說差兩個。這就是數(shù)量的具體表出的方便法門。這方便法門，不但是小孩子學習算學的“入德之門”，而且是人類建立全部算學的基礎，我們所用的不是十進數(shù)嗎？

用指頭代替銅板，當然也可以用指頭代替人、馬、牛，然而指頭只有十個，而且分屬于兩只手，所以第一步就由用兩只手進化到用一只手，將指頭屈伸著或作種種形象以表示數(shù)。不過數(shù)大了仍舊不便。好在人是吃飯的動物，這點聰明還有，于是進化到用筆涂點子來代替手指，到這一步自然能表出的數(shù)更多了。不過點子太多也難一目了然，而且在表示數(shù)和數(shù)的關系時更不便當。因為這樣，有必要將它改良。

既然可以用“點”來作具體地表出數(shù)的方便法門，當然也可以用線段來代替“點”。嚴格地說，畫在紙上，“點”和線段其實是一樣的。

用線段來表示數(shù)量，第一步很容易想到這兩種形式：……和……這和“點”一樣不便當，應該再加以改良。第二步，不妨將這些線段連結成為一條長的線段，成為豎的或橫的呢？本來用多長的線段表出1，這是個人的絕對自由，任何法律也無法禁止。所以只要在紙上畫一條長線段，再在這線段上隨便作一點算是起點零，再從這起點零起，依次取等長的線段便得1，2，3，4……

這是數(shù)量的具體表出的方便法門。

有了這方便法門，算學上的四個基本法則，都可以用畫圖來計算了。

（1）加法——這用不著說明。如圖1，便是5+3=8。

（2）減法——只要把減數(shù)反向畫就得了。如圖2，便是8-3=5。

（3）乘法——本來就是加法的簡便方法，所以和加法的畫法相似，只需所取被乘數(shù)的段數(shù)和乘數(shù)的相同。不過有小數(shù)時，需參照除法的畫法才能將小數(shù)部分畫出來。如圖3，便是5×3=15。

（4）除法——這要用到幾何畫法中的等分線段的方法。如圖4，便是15÷3=5。

圖中表示除數(shù)的線是任意畫的，畫好以后，便從0起在上面取等長的任意三段0—1，1—2，2—3，再將3和15連起來，過1畫一條線和它平行，這線正好通過5，5就是商數(shù)。圖中的虛線2…10是為了看起來更清爽才畫的，實際上沒必要。

懂得了四則運算的基礎畫法了嗎？現(xiàn)在進一步再來看兩個數(shù)的幾種關系的具體表出法。

兩個不同的數(shù)量，當然，若是同時畫在一條線段上，那么是要弄得眉目不清的。假如這兩個數(shù)量根本沒有什么瓜葛，那就自立門戶，各占一條路線好了。若是它們多少有些牽連，要同居分炊，怎樣呢？正如學地理的時候，我們要明確地懂得一個城市是在地球上什么地方，得知道它的經度和緯度一樣。這兩條線一是南北向，一是東西向，自不相同。但若將這城市所在的地方的經度畫一張圖，緯度又另畫一張畫，那還成什么體統(tǒng)呢？畫地球是經、緯度并在一張，表示兩個不同而有關聯(lián)的數(shù)。現(xiàn)在正可借用這個辦法，好在它不曾在內政部注冊過，不許冒用。

用兩條十字交叉的線，每條表示一個數(shù)量，那交點就算是共通的起點0，這樣來源相同，趨向各別的法門，倒也是一件好玩的勾當。

（1）差一定的兩個數(shù)量的表出法

例：兄年十三歲，弟年十歲，兄比弟大幾歲？

用橫的線段表示弟的年歲，豎的線段表示兄的年歲，他倆差三歲，就是說兄三歲的時候弟才出生，因而得 A。但兄十三歲的時候弟是十歲，所以豎的第十條線和橫的第十三條是相交的，因而得 B。由這圖上的各點橫豎一看，便可知道：

（Ⅰ）兄年幾歲（例如5歲）時，弟年若干歲（2歲）。

（Ⅱ）兄、弟年紀的差總是3歲。

（Ⅲ）兄年6歲時，是弟弟的兩倍。

……

（2）和一定的兩數(shù)量的表出法

例：張老大、宋阿二分十五塊錢，張老大得九塊，宋阿二得幾塊？

用橫的線段表示宋阿二得的，豎的線段表示張老大得的。張老大全部拿了去，宋阿二便兩手空空，因得A點。反過來，宋阿二全部拿了去，張老大便兩手空空，因得B點。由這線上的各點橫豎一看，便知道：

（Ⅰ）張老大得九塊的時候，宋阿二得六塊。

（Ⅱ）張老大得三塊的時候，宋阿二得十二塊。

……

（3）一數(shù)量是它一數(shù)量的一定倍數(shù)的表出法

例：一個小孩子每小時走二里路，三小時走多少里？

用橫的線段表示里數(shù)，豎的線段表示時數(shù)。第一小時走了2里，因而得A點。第二小時走了4里，因得B點。由這線上的各點橫豎一看，便可知道：

（Ⅰ）3小時走了6里。

（Ⅱ）4小時走了8里。