第2章 數學那不可思議的有效性

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics

想象一下，如果在一次例行問診中，你得知自己大概率患了癌癥（90%的可能性），你會做何反應呢？我從未拿到過這種診斷，但如果收到了這樣的診斷，我確信那一瞬間我的生活就將改變。所有眼前其他的顧慮、擔心無疑都將變得不足掛齒，除非我的病能馬上得到有效的治療，否則我就可能過早死去，再也見不到我的家人或朋友。

現在再想象一下，如果在拿到診斷的幾天之后，你得知醫生其實在解讀你的檢測結果時出了差錯，你患有癌癥的概率其實只有10%，你會做何反應？在這種情景里，我敢肯定會感覺自己好像剛剛被宣布死刑然后又獲得了赦免。我可能決心改變我的飲食或其他生活習慣以減少自己實際得癌癥的風險——但另一方面，我想我會一如既往，如我第一次被誤診之前那般繼續生活。

我編的這個由于醫療錯誤而導致不同后果的故事，是要說明數字可能會施加給我們生活的巨大影響。但這種情景并非完全是假想的。醫生的確會誤讀癌癥檢測的結果——比你想的要頻繁得多——不是因為測試不可靠或含混不清，而是因為他們不知道如何計算基本的概率。

你需要兩條信息以估算一個檢測結果陽性的病人患有癌癥的概率：檢測的準確程度，以及普通人群中患有這種癌癥的比例。對于一個給定檢測結果，你可能會預料到每一個醫生都將給出大概同樣的估計，尤其因為概率的高低可能決定著對病人的不同治療方案。心理學家格爾德·吉戈倫澤爾（Gerd Gigerenzer），在柏林的馬克斯·普朗克研究所適應性行為與認知中心工作，他發現，許多醫生不能根據某項特定的檢測結果正確判定病人患有癌癥的可能性。 吉戈倫澤爾詢問了多位有20～30年乳房X光照片經驗的放射科醫師（包括該科的負責人），當一位女性在一個有90%正確率的檢測中得到了陽性結果，那么她患有乳腺癌的概率是多少？令人震驚的是，他們估計的范圍從1%到90%都有。真正的概率是大約10%。

為什么醫生有時會高估與陽性檢測結果有關的癌癥風險？設想你在玩一個如下圖所示的轉盤游戲，玩家輪流轉動轉盤指針，并且你希望輪到你轉動指針時，指針將會停留在某一個灰色區域。如果你想計算這種情形實際發生的概率，你就需要數一數你能轉到灰區的所有情況，然后與轉盤上可能出現的所有結果總數進行比較。因為有3塊區域是灰色的，而色塊總數是9個，轉到灰區的概率就是9中選3，或1/3。

現在，假設在計算轉到灰區的概率時，你莫名忽略了所有的白區。在這種情況下，轉盤上的分區總數只有6個（3個黑區與3個灰區），因此你會得出結論，說轉到灰區的概率是6中選3，或1/2（比1/3高的概率）。雖然一個人在轉盤上不太可能犯這種錯誤，但醫生高估與檢測陽性結果相關的癌癥風險的方式，是與之相同的：他們忽略了去計算某些可能出現的情形。

假設你所做的癌癥檢測的準確率是90%，而在1000名女性中通常只有10個人會得乳腺癌。如果你恰好檢測這10個人，那么平均會有9人的檢測結果為陽性（因為檢測的準確率為90%）。但這并不意味著當你的檢測結果為陽性時，你患有癌癥的概率便是90%。我們沒有計算所有可能出現的情形。因為檢測的準確率是90%，我們也需要考慮沒有癌癥的另外990人中，有多少人可能會出現陽性檢測結果。這一過程中將有10%的概率出錯。因此，990個沒有癌癥的人中大約有10%的人（或99人）將得到假陽性結果。這就意味著每1000個人參加檢測，其中約有9+99=108人將出現癌癥的陽性結果。但其實只有9個人真的患有癌癥。因此，如果你的檢測得到了一個陽性結果，那么你真正患有乳腺癌的概率只有大約8.3%，接近10%。

當然，90%與10%不過是數字而已。但當它們代表癌癥檢測的兩種可能后果時，我們就很容易理解數值誤差的實際意義。當真正的患癌風險不到10%，而醫生告訴患者這個風險為90%時，可能會導致患者不必要地高度緊張，也會促使他們去尋求不太需要并且可能帶來有害副作用的治療手段。

因為數字是無形的，而且總是會在我們難以感知的尺度上展現它們錯綜復雜的功能——從病毒DNA中所刻的致命密碼，到恒星中龐大的元素制造工廠——我們幾乎不會注意到它們對我們日常生活的影響。但數字是我們存在結構的一部分。幾乎在我們所做的每一個決定中，它們都占有一席之地——從我們（個人或國家）積累的債務數目到我們選擇的抗病毒治療方法。有許多理由告訴我們，為什么確保我們社會中每一位成員——

包括投票、承擔工作、簽署處方、充當陪審員、購買日用品、建造橋梁、協商合約、房貸、炒股、賣房、消費能源或養育孩子等涉及的每一個人——具備關于數字與數學的通用基本知識是明智的。