這是你的數學大腦

對于溫哥華的伊萊沙·博尼（Elisha Bonnis）老師來說，她最喜歡的事情是幫助她的5年級學生發現數字里的模式或將不同的數學概念聯系起來。但多年以來，每當她不得不去教數學時，她都感覺自己就像一個騙子。

在人生的大部分時間里，數學都讓博尼發怵。她3年級時第一次開始在這個科目上落后，因為支氣管炎迫使她缺課了幾周。家里沒有人能幫助她跟上進度——她來自一個不斷搬遷的家庭——而她在學校又害怕尋求幫助。她在數學上越來越落后，甚至開始對這個科目產生一種習慣性恐懼，老師開始把她當作不能理解最基本數字概念的學生來對待。在一場有關JUMP體驗的訪談中，她告訴《溫哥華太陽報》（Vancouver Sun）的記者：“我曾經以為只有我，我是唯一一個搞不明白的人。我被告知了許多次，我就是一個缺乏數學頭腦的人。”

博尼在數學上的掙扎最終開始影響她其他學科的成績。她開始逃課，考試不過，與老師頂嘴。在被兩所學校開除之后，她進入了一所非傳統學校，并在這兒以高分拿到她的高中學位——但不包括數學成績，因為此前幾年她便放棄了這個科目。當她決定成為一名老師并申請了不列顛哥倫比亞大學的教育項目時，她恐懼地發現，她將不得不去更新自己的數學知識。她回憶道：“在不列顛哥倫比亞大學，我再次被自己對數學深遠持久的憎惡與恐懼纏繞。我每晚學習3個小時，大部分時候都會哭泣。我的確通過了，但當我成為教師，在我職業生涯的前半段時間里，當我需要執教數學時，我仍然感覺自己完全不夠格，好像我在糊弄誰。我只是按照教材照本宣科，現在我才知道，這對我的學生來說是一種怎樣的傷害。”

2008年，伊萊沙·博尼參加了我在溫哥華學校教育委員會的一次演講，之后便與我相識。她的一位同事曾聽她吐露過對數學的恐懼，便勸說她來聽這次的演講。聽過演講之后，博尼開始試驗JUMP的在線課程，最終她在她的課堂上實施了完整的項目課程。隨著博尼與她的學生們一起規劃并努力完成整個課程，她對數學的焦慮開始消退，頭一次她開始感到自己理解了所教的東西。3年之后，帶著新建立的對自己能力的信心，她開始在不列顛哥倫比亞大學上數學教育的碩士課程。之后，她以高分完成了自己的學位，而現在，她喜歡輔導那些對數學感到焦慮的同行老師。

我知道很多人后來發現——有時在生命中相當晚的時候才發現——他們有數學天賦，并且實際上他們喜愛學習這個科目。曾經與我共事過的數百位成人與少年，他們都曾以為自己“不擅長數學”，但我只遇到過少數幾個人，不能很快地跟上我教他們的東西。

在第5章，我將描述我輔導麗莎的工作，她是我遇到過的最具挑戰性的青少年學生之一。在我與麗莎的第一課中，我驚訝地發現她不會最基本的算術運算，或者兩個兩個地數數到10，雖然她已經是6年級了。我很快從她的校長那里得知，在學校她實際上處于1年級的學習水平。她有“輕度智力障礙”（這意味著她的智商大概是80），而且她對數學已產生手足無措般的恐懼。經過3年的每周輔導之后，麗莎告訴我她想去上9年級的數學課。我擔心她沒辦法通過這項課程，但讓我驚訝的是，她在這一年里跳過9年級并完成了10年級的數學課程。

那些認為數學本質上就是很難學的人，有時會將數學的專業知識與各領域的專業知識類比，這些領域通常需要從小開始學習，才能成為其中的有力競爭者，例如，能夠沒有口音地說一種語言，流暢持續地在小提琴上拉出動聽的音符，或者在體操中表演復雜的動作套路。按照這種觀點，如果一個人沒有在早年表現出與數字打交道的能力，那么他們很可能被判定為缺乏數學細胞，就像伊萊沙·博尼一樣。但是來自不同領域的研究——包括認知科學、神經科學，乃至數學基礎領域——都指出，這種類比是有缺陷的，一個人什么時候學數學都不晚。

舉個例子，如果一個人沒有在6歲之前學會說一種語言，那么他們很可能在說這種語言的時候會帶有口音，不管他們多么努力地讓自己聽起來像在說母語。但是最近關于兒童發育的研究顯示，數學學習的成敗并不能做同類的預測。實際上，影響日后數學成就的預測因素所涉及的技能與概念，是每一個人必然會發展起來的，不論他們早年曾在數學上多么掙扎或他們獲取這些技能有多晚。這些指征涉及一些極簡單的任務，是人類進化出的僅需要相對較少的指導就能做到的事情，這些任務包括數到10，或正確地將一個數字符號（1、2、3等）與一個數量（比如一排圓點）或一個數列中的位置聯系起來，并且識別兩個數字符號中哪一個代表更大的數量。

研究提出了一個讓人困惑的問題。如果可以預示數學成績的技能如此簡單，像數數或將一個數字與數量匹配——這些事情幾乎所有人最終都能做到——那么一個人在4歲還是4歲半時掌握這些技能為何就那么要緊？為何學數數比同齡人晚了6個月的孩子，就會有更大的風險被數學終生困擾？研究顯示，成人在能力上的差異主要不是由個體之間的認知差異造成的，因為我們最終都能學會那些可以預示成績的概念。我認為，差異主要源于教育體系，正是教育體系將本來無關緊要的一點延遲或困擾轉化為能夠改變人生的差異。我將提供來自心理學的證據加以說明，比起這門課程本身固有的難度，我們對自己能力的態度（我們將自己與學校或工作場所的同伴相比較而形成這些態度），還有老師的態度，都更有可能阻礙我們作為孩子或成人去學習數學。

有關兒童發育的新研究，與過去100多年來一系列改變數學這門學科的深刻發現是一致的。這些發現最終促進了我們今天所依賴的數字計算機與通信技術的發展。它們也顯著影響了數學的教學方式。在20世紀早期，邏輯學家已經證明，幾乎所有的數學，包括更高等的分支，如微積分、抽象代數，都可以還原為同樣微不足道的概念與過程——例如計數的過程或將對象分組成為集合——這些能力可以在數學上指向成功。不幸的是，這個新發現從未被透露給普通公眾，可能因為數學家們不想讓人知道，數學，曾被廣泛視為普通頭腦難以企及的專業，可以被還原為任何頭腦都可以涉足的簡單邏輯步驟。在本書中我們將審視若干概念的例子——例如分數的除法——這能迷惑許多成人，但實際上非常容易解釋。我將探討數學不同于在學校學習的其他科目，正如邏輯學家所揭示的，它本質上很簡單。

相信數學很難的人，也傾向于相信大腦的結構性特征決定了一個人能夠學會多少數學。神經學家才剛開始尋找擅長數學的成人及青少年與不擅長者的大腦圖像差異。關于人腦的結構會如何限制或增強我們的能力，他們還說不出更多東西。但是他們已經發現的東西理應為任何想學習數學的成人帶來希望。

擅長數學的人傾向于用他們大腦的特定部位（left angular gyrus，稱為“左側角回”）處理數學，這會幫助他們比不擅長數學者更有效地檢索并使用數學信息。 有趣的是，數學奇才們用以超越普通人的信息——你猜到了——從根本上來講很簡單。那些能激活左側角回的人，就能更好地檢索基本信息（比如加法與乘法的信息）以及讀取不同的數學表征（如圖形、圖表及表格）所表示的意義。他們在數學上的優勢在于不必在基本的任務處理上浪費精力，因此他們能夠更專注于理解問題所蘊含的結構。研究顯示，不那么擅長數學的人可以通過訓練學會激活相同的腦區，即那些專家賴以處理數學問題的腦區。

神經科學的研究和與認知科學的一系列平行研究是一致的，它們都表明，許多我們認為天生的能力實際上都能通過一種稱為“刻意訓練”的學習方法來培養。研究指出，學習數學（或任何科目）多少有些有效方法，而當下我們在學校與工作場合所采用的指導方法往往是非常低效的，因為它們會導致學習者“認知過載”，并且不能以有效的方式吸引學習者去注意所學材料的明顯特征。例如，多數老師傾向于用過于具體或特定的例子（常常嵌入一個設計好的似乎與數學相關的故事框架中），但研究指出，這些表述實際上會妨礙學生發現問題中更深層的數學結構。其實，以更少的語言并通過更抽象的表示來展示這些數學概念，則更容易被學生接受。

我們能抽象思考、使用數學的能力，是人類最偉大的天賦之一。可能也正是這種天賦讓我們與其他人大致相似且共享某種普遍性。數學給了我們能力以創造大量技術，并認識統治自然界的規律與模式。它也使我們能夠透過無數讓人眼花繚亂的、讓萬物面貌各異的表象特征，以更抽象的視角，發現它們的相同本質。如果每一個人抽象思考的天賦都能被開發，我們可能會發現，我們與其他人類伙伴的共同之處比我們想象的要多得多。我們能創造出一個更公平、更有成效的社會，并以那些從未體驗過數學之美或數學之力的人難以想象的方式，來改善我們的生活。

每一個人應該都有權利實現他們的智力潛能，正如他們有權發育健康的身體。我們不必等到招攬好一支超人教師隊伍，或發明出一些奇跡般的新技術來保障這種權利。在過去的十多年間，認知科學家與教育心理學家開始揭示我們大腦的最佳學習機制。他們收集的證據已經證明，通過我在本書中描述的方法來教學，絕大多數人都能表現優秀并愛上學習。我們這個時代至關重要的問題之一，就是我們是否會依照這些證據去采取行動。