數(shù)學(xué)與心靈

2004年，我應(yīng)邀到倫敦一所學(xué)校做一堂演示課，這所學(xué)校地處市中心一個(gè)非常貧困的社區(qū)。課間休息時(shí)我觀察玩耍的孩子們，發(fā)現(xiàn)整個(gè)操場(chǎng)上都是相互追打的場(chǎng)景。不在打架的孩子們圍成一圈，為打架的孩子加油。有幾個(gè)孩子因?yàn)槭軅坏貌槐粠щx操場(chǎng)，在操場(chǎng)監(jiān)督的老師們也無(wú)法叫停打斗。

我曾應(yīng)邀為這個(gè)學(xué)校有行為問(wèn)題的班級(jí)教授數(shù)學(xué)。我對(duì)班上那些十一二歲被認(rèn)為是困難學(xué)生甚或暴力學(xué)生的孩子們說(shuō)，當(dāng)我像他們那么大時(shí)我以為我很笨，而且也學(xué)不好數(shù)學(xué)。我說(shuō)，如果他們不理解某些地方，他們可以讓我停下，并請(qǐng)我再次解釋這些地方。如果他們沒(méi)有學(xué)到東西，那是我的錯(cuò)，不是他們的。然后我教他們閱讀二進(jìn)制碼，在電腦中代表數(shù)字的一連串0與1。學(xué)生們似乎都把自己當(dāng)成了小小密碼破譯員，要求我給他們?cè)絹?lái)越長(zhǎng)的密碼。我表演了一個(gè)讀心的小把戲，他們弄清了這個(gè)把戲與密碼之間的關(guān)聯(lián)，并且都想上前來(lái)表演這個(gè)把戲。在我來(lái)到這個(gè)班的第三天，當(dāng)老師和我一起進(jìn)入教室時(shí)，孩子們歡呼了起來(lái)。

很少有人會(huì)將數(shù)學(xué)與社會(huì)公平聯(lián)系起來(lái)。但是數(shù)學(xué)是一個(gè)改變?nèi)鮿?shì)孩子自我評(píng)價(jià)的理想工具。我無(wú)法在一堂課里讓一個(gè)班里的所有6年級(jí)學(xué)生，都達(dá)到以同等流利的水平去閱讀一篇故事或散文，但是我卻能夠僅用一節(jié)課就讓整個(gè)班的數(shù)學(xué)程度達(dá)到大概同等水平，因?yàn)閿?shù)學(xué)可以分解為很多細(xì)小的步驟（或概念線索），因?yàn)樗梢酝ㄟ^(guò)讓每一步增加一點(diǎn)點(diǎn)挑戰(zhàn)性而產(chǎn)生巨大的興奮。

弱勢(shì)學(xué)生從學(xué)好數(shù)學(xué)里獲得的自信，能夠鼓勵(lì)他們?cè)谏畹钠渌矫孀龅酶谩．?dāng)孩子們發(fā)現(xiàn)他們能夠?qū)W會(huì)數(shù)學(xué)，他們就會(huì)開始相信自己能學(xué)習(xí)任何東西，因?yàn)閿?shù)學(xué)被認(rèn)為是困難科目。在倫敦，一個(gè)JUMP的試點(diǎn)項(xiàng)目顯著提高了那些困難學(xué)生的通過(guò)率，一位教師反饋說(shuō)，有行為問(wèn)題的學(xué)生會(huì)訓(xùn)斥其他在數(shù)學(xué)課上搗亂的人，因?yàn)樗麄冊(cè)跀?shù)學(xué)課堂上十分投入。另一位老師寫道，她的學(xué)生們變成了“大膽而獨(dú)立的問(wèn)題解決者”。在保加利亞的一個(gè)試點(diǎn)項(xiàng)目里，觀察者反饋說(shuō)，使用JUMP課程的班級(jí)，學(xué)生們會(huì)感到更快樂(lè)、更投入，也會(huì)更加合作。即便不是教數(shù)學(xué)，代課老師也能分辨一個(gè)班級(jí)是否采用了這種教學(xué)方法，因?yàn)椴捎昧薐UMP課程的班級(jí)，學(xué)生會(huì)更加投入，好奇心更強(qiáng)烈，能夠更好地一起合作。

我曾在許多班里教過(guò)二進(jìn)制碼的課程，但是在溫哥華的一個(gè)5年級(jí)班里，我經(jīng)歷了我最難忘的教學(xué)體驗(yàn)。在我的課上，當(dāng)學(xué)生們正在解答我寫在黑板上的一些問(wèn)題時(shí)，我注意到一個(gè)看起來(lái)很害羞的男孩，他看上去要比他的實(shí)際年齡小。他俯身趴在桌子上，正快速在一張紙上邊寫邊算。當(dāng)我掃視他那張紙時(shí)，我注意到他正寫下從1到15的數(shù)字，并將它們譯成二進(jìn)制碼。

如何將一個(gè)數(shù)字寫成二進(jìn)制

因?yàn)槲覀冇?0根手指，我們的數(shù)字系統(tǒng)圍繞10的倍數(shù)建立。對(duì)于一個(gè)人來(lái)說(shuō)，數(shù)字1101代表有1個(gè)1000、1個(gè)100、0個(gè)10以及1個(gè)1：

電腦中的線路基本上只有兩種狀態(tài)——通電或者斷電——所以電腦只能有效地處理兩個(gè)符號(hào)。這就是為什么電腦只使用含有兩個(gè)數(shù)字（0與1）的數(shù)字系統(tǒng)，其中每個(gè)位置的值都是2的倍數(shù)。對(duì)于一臺(tái)電腦來(lái)說(shuō)，二進(jìn)制數(shù)1101代表的是1個(gè)8，1個(gè)4，0個(gè)2與1個(gè)1:

為找出這個(gè)代碼表示的數(shù)字，可以將圖表中每一個(gè)1上面出現(xiàn)的任何2的倍數(shù)加起來(lái)。因?yàn)榘宋弧⑺奈慌c一位下面各有一個(gè)1（即8+4+1=13），所以二進(jìn)制碼1101代表數(shù)字13。同樣地，1010代表1個(gè)8與1個(gè)2，也就是10。

如上圖所示，將一個(gè)給定的二進(jìn)制數(shù)換算成通常的數(shù)字相對(duì)容易，而將一個(gè)數(shù)字轉(zhuǎn)譯為二進(jìn)制則會(huì)稍微困難一些。我已經(jīng)教過(guò)學(xué)生如何將二進(jìn)制碼轉(zhuǎn)換為數(shù)字，但是那個(gè)男孩自己找到了如何將數(shù)字變成二進(jìn)制碼的逆運(yùn)算方法。當(dāng)我要把這個(gè)方法教給學(xué)生時(shí)，我拿起男孩的這張紙，向班里展示了他所做的成果。然后我讓班里的同學(xué)像他做的那樣去想出解碼的方法。

當(dāng)這堂課結(jié)束時(shí)，老師告訴我，在決定是否讓這個(gè)男孩參與課程時(shí)她曾感到非常緊張，直到最后一刻才決定讓他進(jìn)來(lái)。悲劇的是，這個(gè)男孩天生心臟較弱，他的身體狀況特別糟糕，被預(yù)測(cè)只能再多活幾年。他的數(shù)學(xué)一向不好，而且當(dāng)他遇到困難時(shí)可能會(huì)變得非常焦慮與沮喪。為保護(hù)他的健康，老師不得不小心翼翼的，以免給這個(gè)男孩帶來(lái)過(guò)大的壓力，她之前一直很擔(dān)心這個(gè)小男孩會(huì)在我的課堂上焦慮發(fā)作。

后來(lái)老師發(fā)給我一系列郵件，告訴我這個(gè)男孩取得的進(jìn)步。她說(shuō)，我的課程讓他變得“自信心高漲”，那天下午他回到家，制作了自己的二進(jìn)制本，在本子上寫滿了他的演算。最終他告訴父母，希望他們請(qǐng)一個(gè)輔導(dǎo)老師來(lái)幫助他趕上課程，因?yàn)樗麤Q定了將來(lái)要做一個(gè)數(shù)學(xué)家。那一年，在輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)與學(xué)校里，他都取得了非常顯著的進(jìn)步。在他上一個(gè)生日時(shí)，他堅(jiān)持要離開生日派對(duì)趕回家，因?yàn)樗幌脲e(cuò)過(guò)自己的數(shù)學(xué)課程。

我也記得那個(gè)班里很多其他學(xué)生，因?yàn)樗麄冊(cè)谡n堂上都興奮萬(wàn)分。一個(gè)女孩想到，她可以將一些燈泡排成一排從而制造一臺(tái)“計(jì)算機(jī)”（其中每一個(gè)燈泡代表二進(jìn)制中的不同數(shù)位），點(diǎn)亮一串次序正確的燈泡就代表一個(gè)給定的數(shù)字。有幾個(gè)學(xué)生在我做讀心把戲時(shí)用的圖表中發(fā)現(xiàn)了一些有趣的模式（此前我并沒(méi)有注意到）。還有一個(gè)男孩給我寫了一封相當(dāng)特別的信。當(dāng)我讀這封信上的日期時(shí)，一度懷疑這個(gè)男孩沒(méi)有被教過(guò)如何正確書寫日期，然后我才意識(shí)到它是用二進(jìn)制碼寫的。下面是這封信：

11111011000年，1月11010日 ，星期三

親愛(ài)的約翰，

謝謝你1月11010日來(lái)我們班教我們二進(jìn)制碼。我很享受學(xué)習(xí)怎樣閱讀二進(jìn)制數(shù)字。我以前總以為轉(zhuǎn)譯像2008這樣大的數(shù)會(huì)很難，但是你讓它變得如此容易，當(dāng)我把你的方法教給我上1年級(jí)的兄弟威爾時(shí)，他幾乎變成了一臺(tái)計(jì)算機(jī)！

他已經(jīng)加倍算到了500億左右！

以前他并不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)，但是上周他將乘法表記到了乘以11。有供三年級(jí)學(xué)習(xí)的JUMP數(shù)學(xué)課本嗎？我想他接近這個(gè)水平了。

如果能得到幫助，此致感謝。

來(lái)自賈斯珀

在信的背面，從上到下排成一列，賈斯柏寫下了2的冪（1，2，4，8，16…），這些是二進(jìn)制碼的基數(shù)。在這一列的底部，在數(shù)字4, 394, 967, 246 旁邊，他寫下“威爾最后一個(gè)雙倍數(shù)”，而且在數(shù)字33, 554, 432 旁邊，他寫了“有趣的數(shù)字”。顯然，威爾和他的兄弟也發(fā)現(xiàn)了直至43, 046, 721 的3的一系列冪，因?yàn)樗鼈円脖粚懺诩埳稀Ｎ覜](méi)有想太多，至今不太清楚為何33, 554, 432是一個(gè)有趣的數(shù)字。但孩子們常常能看到我忽視的東西。

相信自己能力的孩子，會(huì)像喜歡從事藝術(shù)或體育那樣喜歡做數(shù)學(xué)。他們熱愛(ài)克服挑戰(zhàn)，熱切地去發(fā)現(xiàn)或理解某種美麗、

有用或新鮮的東西。他們會(huì)很高興地花數(shù)小時(shí)去解決謎題、發(fā)現(xiàn)模式和尋找聯(lián)系。但是多數(shù)孩子會(huì)在他們長(zhǎng)大之前失去這種好奇心與驚奇感，就因?yàn)樵谶@個(gè)社會(huì)中，我們對(duì)自己的期望太少。

如果孩子們不能在可見(jiàn)的世界看見(jiàn)美——比如一座白雪覆蓋的山峰，或繁星閃爍的天空——我們就應(yīng)該反思他們被教育或撫養(yǎng)長(zhǎng)大的方式了。但是在無(wú)形的自然規(guī)律世界里，也有一種美，存在于每一個(gè)細(xì)胞與每一顆星星的優(yōu)雅模式與對(duì)稱性里，這種美只能通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)理解與欣賞。當(dāng)人們無(wú)法發(fā)展自己看見(jiàn)世界這一方面的能力時(shí)，我們是否也該對(duì)此感到憂慮？

理念的世界里沒(méi)有匱乏。當(dāng)某個(gè)人理解了一個(gè)概念，它的美麗不會(huì)消耗或被用盡。一個(gè)人學(xué)到更多，不會(huì)造成另一個(gè)人學(xué)得更少。但目前，我們教育體系中的一切，似乎都是為了讓真正的知識(shí)變得稀缺，讓那些最深刻的思想不被所有人掌握，而只為少數(shù)人所擁有。如果他們足夠幸運(yùn)的話，從中學(xué)畢業(yè)的學(xué)生可能還相信自己有一兩種天賦，但學(xué)校提供的科目大多是他們不感興趣或根本學(xué)不會(huì)的。對(duì)于很多人來(lái)說(shuō)，在12年這相對(duì)短的時(shí)間內(nèi)，大多數(shù)興趣之門就永遠(yuǎn)關(guān)閉了。

著名環(huán)保主義者與《寂靜的春天》（Silent Spring）的作者蕾切爾·卡森（Rachel Carson），曾寫道：“那些凝視地球之美的人將找到與生命一般持久的力量?jī)?chǔ)備。” 推動(dòng)建立美國(guó)第一座國(guó)家公園的約翰·繆爾（John Muir），曾提出自然可以為我們提供“無(wú)限的快樂(lè)源泉”。如果人們被教導(dǎo)從每一個(gè)層面看見(jiàn)世界之美，并能用他們的智慧與感官去欣賞世界的美妙設(shè)計(jì)，那么他們就可能會(huì)汲取比卡森與繆爾提到的更深刻的力量和快樂(lè)。他們也將理解世界如何相互聯(lián)系、個(gè)體選擇的微小效果會(huì)如何快速地累積。因此，他們將有更精細(xì)的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)，并能更好地保護(hù)環(huán)境。他們甚至可能受到啟發(fā)，在自己的生命中騰出更多空間去感受大自然不竭的永恒與怡人的美麗——包括那些你只能通過(guò)數(shù)學(xué)才能欣賞的部分。

任何能思考的人都可以領(lǐng)略世界的隱藏之美。我們不必為這珍貴資源的份額而相互競(jìng)爭(zhēng)或爭(zhēng)奪。如果能穿過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)容易感受到的恐懼與迷霧，成人可以清晰地看見(jiàn)這種美，也就會(huì)希望每一個(gè)孩子也能看見(jiàn)它。他們不會(huì)讓孩子們失去學(xué)習(xí)的激情，也不會(huì)讓孩子們養(yǎng)成有缺陷的、破壞性的思維方式，這些都是智力貧困的產(chǎn)物。為恢復(fù)我們用智慧與感官去洞悉世界的能力，我們需要從檢視關(guān)于能力和智力的迷思開始，這些迷思阻止了包括我自己在內(nèi)的許多人在數(shù)學(xué)與科學(xué)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)他們的全部潛力。