數學與思維

在公元前300年，希臘數學家歐幾里得總結出5條公設，根據它們可以推出當時所知的所有幾何真理。與其他重要的數學思想一樣，這些公設如此簡單，以至于孩子都可以理解。但它們又是如此強而有力，今天的數學家、科學家與工程師仍在不斷發現它們所蘊含的海量真理的新應用。

下面是用現代方式陳述的這5大公設：

（1）直線是兩點之間最短的距離。

（2）一條直線可以無限延伸。

（3）圍繞一點可以畫任意半徑的圓。

（4）所有的直角角度都相等。

（5）給定一條直線A，與不在直線上的一點B，經過點B有且只有一條直線不與直線A相交（或“平行”于直線A）。

許多個世紀以來，數學家都被其中的第5條公設困擾，因為它看起來比其他公設更復雜，又不那么直觀。從歐幾里得的時代到19世紀之間，許多業余數學家（還有一些職業數學家）聲稱，他們能從其他4條公設證明出第5公設，但他們所有的證明都包含了錯誤。

19世紀初，兩位創造性的數學家決定采取不同的路徑去處理第5公設。不再試圖從其他公設去證明第5條公設，雅諾什·鮑耶（János Bolyai）與尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）分別獨立地探索如果完全拋棄第5公設將會發生什么。讓他們驚訝的是，他們發現可以在不用第5公設的情況下，發展出完美合理而一致的幾何學。數學家很快意識到，如果我們生活于一個彎曲的表面，或在更高維度上的曲面空間，這些幾何圖形描繪的即是體驗這個世界的各種方式。例如，如果你生活于具有球面曲率的宇宙，你沿著看上去是直線的路徑走足夠長的時間，最終你將回到你開始的地方。而如果你生活于一個巨大的球形表面（事實的確如此），你可能以為（一些人至今這樣以為）你生活于一個平坦的表面。如果球體極其大，你可能不能分辨出這個表面是彎曲的。但當你理解了彎曲空間的數學，你還是可以推理出，假如你真的恰好生活在一個球體上，歐幾里得的第5公設在你的世界里便不成立。

在一個平坦表面，直線是走過兩點之間距離最短的路徑。在一個彎曲表面，兩點之間的任何最短路徑——用一種更抽象的視角來看——也可以被視為一種“直線”。這些最短路徑對一個生活在這個二維表面的人來說，看起來是平直的，但它們實際上會在三維空間里彎曲。

在一個球面上，在給定的一對點之間只有一條最短路徑——這條路徑總是處于一種被數學家稱為“大圓”的特定類型曲線上。演示大圓的一種方法是，想象將一個網球沿通過球心的一個截面切成相等的兩半，當你觀察任一半球的環形邊緣時，你看到的就是一個大圓。

地球的赤道是一個大圓，因為它將整個地球分成兩個相等的半球。對于地球表面的任意一對給定點，連接它們的僅有一個大圓。如果你希望從多倫多的中心點經過最短路徑飛到悉尼的中心點，你必須沿著連接兩點的大圓飛行。當航班路線被投影到一張平面地圖時，它們看起來通常是彎曲的，因為飛行員在跟隨大圓的路徑以節省時間與燃料。

因為存在無數種方法可以將一個球切成兩半（沿著一個通過球心的截面），在球體的表面上有無數大圓，且每一個大圓將與其他所有大圓相交。這就是為什么歐幾里得的第5公設在球面上不能成立。每一條最短路徑或“直線”（當它延伸后）與其他所有“直線”相交，所以這里不存在“一對平行線”這種事情。

與此相反的是，在下圖所示的馬鞍形表面上，“直線”是拋物線，而歐幾里得的第5公設因另一種原因而失效。

給定任一線A及任一不在線上的點B，存在不止一條“直線”通過B且不與線A相交。事實上，在馬鞍形的表面上，通過點B存在無數多條與A平行的線。

數學如此有效的原因之一是它的抽象性。事實上，過去200年里取得的所有主要數學進展，都源于數學家學會了越來越抽象地看待各種數學對象，比如數字、形狀和關系。平面上的一條直線，與球面上的一條大圓，除了它們都是線條這一事實之外，似乎沒有多少共同之處。但是以更抽象的角度去看，它們是在各自表面之上的最短路徑，都會被生活在其表面之上的人視為直線。

通過探尋彎曲空間的幾何，數學家最終發展出愛因斯坦所需要的數學，從而提出了物質能讓空間與時間彎曲的奇異想法。1918年，天文學家的觀測表明，星星在日食時移動了位置，他們不僅證明了引力會導致光線在經過太陽附近時發生彎曲，也展示了對奧妙晦澀的數學問題（關于歐幾里得第5公設是否必要）的解答，可以為科學家所能構想的最具革命性的理論提供支持。

這種類似為相對論做鋪墊的巧合之事在數學上一次又一次地發生。故事經常是這樣的：一位數學家決定探討一個看上去不會有太多（或根本不會有）實際應用的問題，僅僅因為他們想使一個理論更優雅、更美，或單純因為他們的好奇心；多年之后，他們的理論被發現正好是生物學家、化學家、物理學家或電腦科學家為取得某個主要概念突破所需要的東西。從遺傳學到量子力學，現代科學的幾乎每一個分支，都建立于數學家50年前至500年前發現的概念之上，數學家提出這些概念時甚至還沒有人想到這些科學領域。物理學家尤金·維格納（Eugene Wigner）將數學這種持續不斷地預測改變世界科學與技術革命的趨勢稱為“數學不可思議的有效性”。

我想很少有在世的人像工程師與企業家埃隆·馬斯克（Elon Musk）那樣清晰展示了數學思維在實踐中的力量。通過他的公司特斯拉（Tesla）、太空探索（SpaceX）與“挖洞”公司（The Boring Company），馬斯克創造了一系列革命性的產品與技術。而且他激勵或者說迫使許多公司（尤其是汽車與能源公司）以比原本預想更快的節奏去采用環保技術與商業模式。馬斯克曾將他成功的一大部分原因歸于他愿意運用數學從“第一原理”去分析問題。

“挖洞”公司最近才成立，因此不像馬斯克的其他公司或他更有名的發明那樣廣為人知。這個構想類似超級高鐵（它在地下管道中發射小型交通倉，因為管道中幾乎沒有空氣，所以空氣阻力極小）。創辦這家公司的想法，生發自馬斯克在洛杉磯街頭堵車的時刻，他運用數學的第一原理來分析交通擁堵問題。

交通擁堵導致我們的經濟每年損失億萬美元，并使通勤者每天的生活中有幾個小時的極度煩惱時間。但是城市大多很少建設地下隧道以緩解擁堵，因為挖掘隧道的成本讓人望而卻步。該成本取決于需要移走的土石體積。這一體積可以通過用隧道的長度乘以隧道的橫截面積來計算。而橫截面積又取決于隧道的半徑（為直徑的一半）。馬斯克意識到，他無法改變一條典型隧道的長度，但他又想如果改變隧道半徑將會發生什么變化。

我們大多數人都在小學學過圓的面積公式（面積等于常數π乘以半徑的平方，或者說是πr2）。該公式意味著，當半徑增加隧道的橫截面積將快速增加，因為面積與半徑的平方成正比。如果你曾試過分別將數字1、2、3與它們自己相乘（或求這些數的平方），你就會知道當數字增大時它的平方增加得有多快了。馬斯克推測，通過減小隧道的半徑，他可以將挖掘一條典型隧道所需要的時間減少至原來的1/10。為了補償減少的隧道寬度，他設想將一臺車放在類似雪橇的滑車上發射出去，以高速穿過隧道。幾天之后，基于為度過堵車時間而做的初級數學思考，一家公司誕生了。現在斷言馬斯克的各種公司將有多么成功，還為時尚早——就我來說，我不會賭他輸——但僅是這些建立于數學直覺之上的公司的存在，就已經產生了正面的影響。

通過為我們提供強大的思想工具，數學能改變我們思維的運作方式。當學習數學時，我們就在學習著去發現模式，去合乎邏輯與系統化地思考、進行類比，以及透過表面的差異而進行抽象的觀察。我們也學習進行推理與演繹，尋找隱藏的預設，從第一原理進行證明，通過排除某些可能性而得到謎底，制定和運用策略以解決問題，進行估計與“大致”計算，我們也學習去理解風險和因果關系，并判斷數據何時重要或無意義。

不知道如何運用數學思維，一般來說，會讓我們更不健康、財務上更不安全、創新性更差、生產力更低、好奇心更弱、更不聰明也更不快樂。它也讓我們更容易犯錯誤、不理性、更加迷信并更易受煽動家影響。數學盲損害我們的經濟，惡化我們的環境。如果我們在教育上不能讓每個人盡展潛能，這種失敗還會導致許多其他難以估量的損失。