芥子須彌——圓周率π的秘密

——你可以保持沉默，而你想要說的一切，都已經作為呈堂證供，記錄在π之中了。

幾年前在德國馬堡附近，參觀了一個青少年科技活動館。那里有臺計算機正在運行著計算π，小數點以后一位一位地算下去，現在到底計算到第幾位了，我也搞不清楚。而這臺計算機同時提供的一個游戲，給我留下深刻的印象。就是只要輸入生日，譬如我的生日是1957年6月25日，輸入“250657, ”計算機就可以告訴我，我的生日出現在π的小數點后1 427 419位到142 725位之間，之前出現的是…19 243 987，之后出現的是018 412 953…。花費時間1.155秒（見圖1）。我詢問了科技館的工作人員，他們說到現在還沒有碰到過找不到自己生日的人。事實上，這臺計算機已經驗證了任何的6位數都可以在π中找到。

那么，有一個有趣的問題：是否π中包含了更多位數的整數？進一步地，是否π中包含了任何位數的任何整數呢？

我們知道，數是從自然數、整數、有理數、無理數、超越數發展而來的。有理數是一次整系數代數方程px＝q的根，這里p, q是整數。兩次整系數代數方程的根就包含了一些無理數，譬如，由有理數與整數開根號，再通過加減乘（數學上稱為代數）組成。三次整系數代數方程的根就包含了更多的內容，不僅包含兩次根，它還包含了整數開三次根。這樣我們就把無理數進行了分類，分成了一個包含一個的無理數集合的嵌套，因為二次方程的根同時也是三次方程的根。這些數稱為代數數，因為它們都是某個代數方程的根。但π不是代數數，它不能寫成代數方程的根，而是超越數。超越是指它已經不能寫成任何的代數方程根的形式，所以更加復雜，或者說更加無理。數學證明代數數比有理數多，而超越數比代數數還要多得多，實數中幾乎都是超越數。世界就是這樣，總是魔鬼比天使多，無理的比有理的多，甚至是越無理越多。

圖1

對于有理數與無理數還可以有另外的一個嵌套分類方法。（0, 1）之間的無理數是無限位的小數，有理數后面填上零也可以看成無限位的小數。在這個無限位小數中，包含0到9任何整數的是第一類，還包含10—99所有整兩位數的是第二類。這樣也形成了一個包含一個的無限位小數集合的嵌套。

顯然，存在這樣的無限位小數，它包含所有的不論多少位的整數，或者說現在這樣分類的超越數。我們很容易地就構造出一個這樣的無限位小數，只要數數，然后一個接著一個寫在后面就可以了。這個數是0.123 456 789 101 112 131 415 161 718 192 021 22 232 425 262 728 293 031 3…，對于這個數，如果整數n是L位的，那么上面這個數前10的（L+1）次方位中，肯定包含了n甚至所有的位數不大于L的整數。顯然，這樣的構造是非常浪費的。個位數0到9,12,23,21等在后面又重復出現，前面的可以去掉。那么就有了一個新問題，怎么寫出一個最短的小數，包含所有0到n的整數。（方法剛才已經給了，只要把前面已經出現的去掉，這可以看成數論中經常用到的篩法。這是最短的了嗎？最短的這樣的數，位數究竟是幾？）

我們可以用概率論的方法證明，一個非常亂地（隨機地）排列的無限位小數，一定以概率1包含了任何整數n。假設每添加一位小數都是從0到9平均地隨機取的，這個整數n是L位的，記N為10的L次方，那么在寫下（L+M-1）位小數后出現了M個L位整數，所以不出現某L位整數n的概率是（N-1）/N；再一起M次方，令M越來越大，趨于無窮大，得到下面的結論：不出現n的概率是零，從而每次都是隨機添加的無限位小數，會以概率1在某處出現任何給定的整數。具有這樣性質的無限位小數也具有某種超越性。在了解了超越數比代數數多得多的概念后，具備現在這種超越性的無限位小數可能也有許多，可能無限位小數中的絕大多數，與經典的超越數一樣，是具備這種超越性的無限位小數。我們將在下一篇《芥子須彌——圓周率π的秘密的進一步討論》中給出證明。

一個有趣的問題或者猜想是：是否超越數都具備這個性質？或者說，哪些數具備這個性質？更加具體的問題是：圓周率π是否是具備這種性質的數？π這個數當然是超越數，每一位的添加看起來非常沒有規律，或者說好像是隨機添加上去的。利用上面關于概率的公式（上面假設0到9出現的概率相同，不相同時結論也是對的，證明思想也是相似的），如果我們已經將π寫到了2 000位，那么某6位數不在其中的概率是0.999 999的1994次方。如果寫到20 000位，那么某6位數不在π中的概率是0.999 999的19 994次方。所以人們有理由給出這樣的猜想：π應該是具備這種超越性質的無理數。根據這個思想，我們好像已經用概率論證明了這個命題：任何一個整數，以概率1會出現在π中的某一段。

當然這個證明是數學不嚴密的，讀者可以自己構造這樣無限位小數，不是有理數，但不具備這個性質（答案在下一篇《芥子須彌——圓周率π的秘密的進一步討論》中）。所以對于數學家來說，用數學嚴密地證明π是這樣的超越數會是一個非常有趣的問題。

最近大家都在討論大數據，好像沒人會認為π這個數屬于大數據范疇。因為π只是一個數，而且可以由圓的直徑與周長的關系描述。但是上面的討論告訴我們，π很可能是滿足這種超越性質的超越數，那樣真如佛祖在須彌山講道時所說的，須彌山可以裝進一粒芥子之內。我們知道現在幾乎所有的東西都可以通過計算機數字化，不僅我們的生日，我們的銀行卡密碼，我們的照片，我們的講話錄音、錄像，甚至這篇文章的文本文件（注意：還是在寫這篇文章之前），可能早已經是記錄在π中的一段了?！澳悻F在不要說話，因為你想要所說的一切，都已經在π中的一段里出現過了?！辈粌H是內容，而且還包括語調語氣。如果你用聲音播放軟件來播放π，就會在某時刻聽到你將要說的話，看到你將要寫出的文章，或者是明天要交給老師的作業、交給老板的求職信或計劃書。

對于已經儲存在計算機中的內容，世界上所有的數字存儲介質中的內容，還只是有限位的，或者說只是一個整數。我們錄下來的所說過的話，我們的數字照片、錄像，我們寫的文章，這個我們是指我們所有的人，甚至還包括古人。數字化后竟然還只是在有限位整數范疇。即使再過幾年，不，幾百萬年，我們的后代子孫，全體人類所能夠做的，并且記錄到數字介質中的人類活動的所有內容，這些也還只是有限位整數，而且可能早已經被記錄在π中的一段里。你難道不感到震驚嗎？

這里還涉及一個更加重要的問題，那就是上帝的存在性與世界發展的決定性問題。

如果π確實包含任何的整數，那么上帝存在的可能性也就大大提高，他只要畫一個圓，讓世界按周長與直徑的比這個劇本去像電影那樣演就行了。或者說上帝拿一個硬幣，在周邊隨便畫幾個點，放在一條直線上向前滾，這樣就畫出了一個條形碼，然后用整數條形碼識別器去識別，讀出來后用Mpeg軟件像放電影一樣放映出來。那么一定會在某時某刻放映出來的就是現在正在上演的那部熱門電影，或者是你明天的活動記錄。當然這也導致了決定性論，即世界的發展在上帝畫那個圓時就已經決定了，你只能聽天由命。

上面提到，這樣的數也可以通過隨機取值得到，那么上帝的角色就不那么重要了。我們的世界只是隨機產生的，現在只是一段在無限的隨機序列中看上去比較有序的數段而已。顛倒夢想，究竟涅槃。上帝還是只要使用這個硬幣，拿著它往上扔，然后把正反面記錄下來，放到Mpeg軟件中去放映。歷史將要發生什么，那要看上帝下一個硬幣扔出來的結果。這將導致不可知論，或者說世界是上帝在玩骰子而存在、發展的。

當然更有可能的是，下一個隨機數是我們人類自己取的，是人類活動在影響、推動、改變著明日世界的發展。

問題：編一個程序，用公式π/4＝1-1/3+1/5-1/7+1/9……，一位一位地去計算π，注意計算機的存儲，有限時間的計算都是有限位的。

復旦大學數學科學學院 吳宗敏

（本文摘自《數學文化》2015年第4期，此處文字略有改動。）