第一張對數表是怎樣制作出來的？

在400多年前，人類還沒有發明計算機，還只能做加、減、乘、除等簡單運算。但是隨著科學技術的發展，特別是隨著天文學和力學的迅速發展，科學家要面對許多復雜的計算，這就促使他們去尋找簡化復雜計算的方法。對數運算與對數表就是在這樣的背景下產生的。

人們應該把造出第一張對數表歸功于喬伯斯特·別爾基（Jobst Burgi,1552—1632）和約翰·納皮爾（John Napier,1550—1617）。他們在制作對數表的過程中所花費的巨大勞動使人驚訝。法國數學家和天文學家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace,1749—1827）曾說過：一個人的壽命如果不拿他在世上的時間長短來計算，而是拿他一生中的工作多少來衡量，那么可以說，對數的發明等于延長了人類的壽命。

恩格斯曾經將解析幾何、對數及微積分并列為17世紀3個“最重要的數學方法”，而對數的計算又離不開對數表，由此可知對數表的制作成功對科學發展的重要意義。

喬伯斯特·別爾基出生于瑞士，是一個能干的鐘表匠和天文儀器技師，他沒有受過高等教育，他取得的成就完全是靠他突出的才能與勤奮的工作。他和發現行星運行三大定律的德國著名科學家開普勒（Johanns Kepler,1571—1630）一起工作，因為需要進行大量的計算，這就促使他去尋找快速計算的方法。

約翰·納皮爾是蘇格蘭人，他也不是職業數學家，但他受過良好的教育，是一個天文學和數學的愛好者。他完全獨立地和別爾基同時開展著類似的研究。他用了20年的時間來制作第一張對數表，在這一過程中，他始終懷著一個崇高的目標：減輕未來計算人員的勞動。

下面我們來看看他們是怎樣制作對數表的。

由于對數運算有換底公式，因此只要選擇一個適當的底，關于這個底制作出對數表，則關于其他底的對數表就很容易制作出來了。那么以什么數作為底最合適呢？

首先，對數表需要滿足一個基本條件：表中對數的間隔要充分小，而真數的間隔也要充分小（如為0.000 1）。這樣，當我們從真數求對數時，很容易在表中找到這個真數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的對數值；而當我們從對數求真數時，也很容易在表中找到這個對數的精確值或近似值，從而很快在同一行讀出它的真數值。

因為我們使用的是10進制，所以先試一下以10作為底是否合適（見表1）。

表1

（續表）

表1左邊對數部分的間隔很小，是0.000 1，但右邊真數部分的計算非常困難，需要對10,100,1 000,10 000等數求10 000次根，這簡直是無法計算的。

為了避免求上述的開10 000次根的運算，我們應該取某個數的10 000次冪為底，那么先取1010 000作為底來試一下（見表2）。

表2

現在表2右邊真數部分的計算并不困難，但這張表不符合我們的要求：雖然對數的間隔比較小（0.000 1），但是真數的間隔太大，而且增加太快。

我們把底縮小一點再試一下，取210 000作為底（見表3）。

表3

底縮小后，真數這一列間隔也縮小了，但是仍然太大，而且增加也很快。我們把底再縮小一點試一下，取作為底（見表4）。

表4

從以上幾張表我們可以發現，我們取的底應該是一個指數形式，指數是一個比較大的數，如10 000，而底越接近1，真數這一列的間隔就越小。于是可以自然地想到以（1.000 1）10000作為底試一下（見表5）。

表5

我們發現表5已經滿足前面提出的要求：真數和對數都按照單調增加的序列排列，而且間隔都非常小。

表5的對數是按等差數列排列，公差為d＝0.000 1，真數是按等比數列排列，公比為d＝1.000 1，這樣造表就比較容易了。

從以上討論可以得出這樣的結論：為了造第一張便于計算的對數表，必須取形如的數為底，其中n為一個較大的整數，如n＝1 000,10 000等，n越大，所造的表越精確。

別爾基造的對數表就是用數（1.000 1）10 000做底的，這張表在1620年出版，稱為“算術級數和幾何級數表”。別爾基從1603年到1611年共用了8年的時間來造表。為什么要用這么多時間呢？你們可以想一下，表中對數的間隔是0.000 1，從0到1就要計算10 000個真數的值。制作整個對數表，別爾基總共做了230 000 000個以上的數依次乘以1.000 1的乘法計算！

別爾基造的對數表沒有得到廣泛的推廣，因為在1620年納皮爾出版了比別爾基造的表完善得多的對數表，稱為“珍奇對數表”。納皮爾的對數表是以（1.000 000 1）10 000 000做底，因此更加精確。為了制作這張表，納皮爾用了20年的時間。

隨著牛頓（Isaac Newton,1643—1727）和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716）創立了微積分，柯西（Cauchy， 1789—1857）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass,1815—1897）等人奠定了微積分的基礎，建立了嚴格的極限理論。人們發現當n無限增加時，數列的極限存在，這個極限是一個無理數，等于2.718 281 828 45…，數學家把這個數用字母e來表示，是為了紀念偉大的瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler,1707—1783）。為了紀念納皮爾，這個數也叫做“納皮爾數”。

因此，現在用的對數有兩種：一種叫自然對數，它以數e為底；另一種叫常用對數，它以10為底。

復旦大學數學科學學院 陳紀修