3.將空間翻個面

至此我們討論的都是曲面，也就是二維子空間的拓撲學性質，而對于我們存在的三維空間，我們同樣能問出相似的問題，不過在三維環(huán)境下的地圖填色問題就轉化為：我們要用不同材料的物質拼成一塊鑲嵌體，以保證任意兩個相鄰的物體都是不同材料的，這又需要多少種材料呢？

將球面或者環(huán)面的填色問題類比到三維空間會是怎樣的情況呢？我們能否設想出一些特殊的三維空間來對應普通的三維空間，就像球面、環(huán)面與平面的對應關系一樣呢？

乍一看這些問題似乎沒有意義。事實上，就算我們能輕松想出各式各樣的表面，我們還是會傾向于相信三維空間只有一種，也就是我們所熟知的這個我們生活的空間。然而這樣的觀點是危險的謬見。只要我們放飛想象力，我們就能想出與歐幾里得的幾何教科書里所研究不盡相同的三維空間。

我們之所以會難以想象出這種區(qū)別于常規(guī)認知的三維空間，是因為我們本身就是三維生物，我們只能從“內部”觀察這個我們所生活的空間，而無法像觀察二維曲面那樣，可以從“外部”觀察。但只要動動腦，我們就能輕而易舉地征服這些問題。

我們先建立一個性質類似球面的三維空間模型。球面的主要性質就是它沒有邊界，但它的面積是有限的，它只不過是旋轉一圈之后自己閉合了。那么我們能不能設想一個與之類似的，同樣是體積有限但沒有邊界的閉合的三維空間呢？設想兩個被限制在球面當中的球體，就像被蘋果皮包裹的蘋果那樣。

現(xiàn)在我們來想象，讓這兩個球體“互相穿過”，并且使它們的外表面結合在一起。當然我們不是說把兩個像蘋果這樣的實體互相擠壓使它們互相穿過對方，它們的外表皮就能粘在一起——就是把蘋果擠碎了它們也不可能互相穿透啊！

或者我們干脆想象一個被蟲子咬出錯綜復雜隧道的蘋果。

設想有兩只蟲子，一只是白的，一只是黑的，它們互相憎惡，不會進入對方的隧道，因而兩條隧道互不相通，盡管它們的起點位置可能非常靠近。被這樣兩只蟲子啃食的蘋果最終可能就像圖18這樣，擁有兩條布滿整個蘋果內部、彼此緊密纏繞的隧道網(wǎng)絡。

然而，盡管白蟲和黑蟲的隧道靠得非常近，但若想從其中一座隧道迷宮去往另一座，只能先回到蘋果表面。

繼續(xù)想象，如果兩條隧道變得越來越細，也越來越復雜，最終整個蘋果內部都會被兩個重重疊疊的獨立空間徹底填充，而它們彼此隔絕，只在表面相連接。

如果你不喜歡蟲子，你可以參考在紐約舉辦的上一屆世界博覽會（簡稱世博會）[9]上的一個標志性的球形建筑里的雙走廊雙樓梯系統(tǒng)。里面的每一組樓梯都能夠穿過整個建筑，但想要從第一組樓梯到達第二組樓梯，哪怕是鄰近的兩個位置，都需要到位于球面上的兩組樓梯的交會處，再進入第二組樓梯。也就是我們說的，兩個球體互相重疊但互不妨礙，即使你的朋友離你很近，但你想要見到他，和他握手，你就必須走很長的路！

需要說明的是，兩組樓梯的交會處的構造與球內的任何一點并無不同，你完全可以將整個結構變形，將在外的交會處壓到里面，而把球內的點外翻到球的表面。除此之外還要注意，盡管在我們的模型里兩組樓梯的長度是有限的，但卻不會存在“死胡同”，你在走廊或者樓梯中穿行時不會撞到墻或者柵欄。如果你走得足夠遠，你將會發(fā)現(xiàn)自己又回到了起始點。

假使從外部觀察整個結構，你可以說：一個人穿過了迷宮，最后又回到了他的出發(fā)點，這不過是因為走廊的方向逐漸扭轉了。但對于身處其中的人來說，他們不會有“外部”的概念，于他們而言，空間就是一個有大小而無邊界的存在。我們將在下一章看到，這種沒有明顯邊界又并非無限大的“自封閉三維空間”，在討論宇宙的整體性質時是非常有用的。

事實上，即使是在當今望遠鏡有限的觀測下，我們對深空的觀測結果也表明，那里的空間似乎開始彎曲了，空間表現(xiàn)出彎折回來并最終形成封閉空間的趨勢，正如我們舉的蘋果那個例子中被蟲子吃出來的隧道一樣。但在探討這些令人激動的問題之前，我們還需要了解空間的一些其他性質。

我們與蘋果和蟲子的故事還沒完，下一個問題是——有沒有可能把一個被蟲蛀過的蘋果變成一個甜甜圈？當然，我們不是說讓它的味道變得和甜甜圈一樣，而是要它的形狀和甜甜圈一樣。我們在討論的是幾何學，不是廚藝。

現(xiàn)在我們回到前面討論過的雙蘋果的例子，也就是拿兩個新鮮的蘋果，讓它們“互相穿過”，彼此的表皮“粘在一起”。假設一條蟲子在其中一個蘋果里咬出了一個寬敞的環(huán)形隧道，如圖19所示。注意，是在其中一個蘋果里，這樣隧道外的每一點就都是同屬兩個蘋果的雙重點，而隧道內只有那個沒被蟲子咬過的蘋果的物質（指果肉、果核等）。現(xiàn)在我們的“雙蘋果”有了一個由隧道的內表面組成的自由面（圖19a）。

如何將一個被蟲蛀過的雙蘋果變成一個完好的甜甜圈。這不是魔術，這只是拓撲學！

你能將這個壞了的蘋果變換成一個甜甜圈嗎？當然，前提是我們要假設這個蘋果的材料是可塑的，你可以將其揉成各種形狀，只要不出現(xiàn)裂口就行。為了便于操作，我們可以將蘋果切開，不過等解構結束之后我們還是需要將其粘回去。

我們先去除將“雙蘋果”結合在一起的皮質，然后將它們分離開來（圖19b）。我們將本來就沒有連在一起的兩個蘋果的表面分別命名為Ⅰ和Ⅰ'，以便于在接下來的操作中進行標記區(qū)分，這樣我們在結束之前就可以把它們重新粘在一起了。現(xiàn)在，把蟲蛀過的部分沿著隧道切成兩半（圖19c）。這樣又多出了兩對新的表面，同樣地，為了方便之后將它們粘起來，我們將其命名為Ⅱ、Ⅱ'和Ⅲ、Ⅲ'。這一步操作也將自由面暴露了出來，它也即將成為甜甜圈的自由面。

現(xiàn)在，將切開的兩部分拉成圖19d顯示的樣子。自由面被拉伸成很大的面積（根據(jù)我們的假設，這種材料就是可以任意拉伸的），相應地，被切開的面Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的面積就縮小了。另外，我們在對“雙蘋果”中的一個蘋果進行操作時，還需將另一個縮小到櫻桃大小。現(xiàn)在，我們已經(jīng)做好了將幾個部分粘在一起的準備了。

首先，我們可以輕松地將Ⅲ和Ⅲ'粘到一起，得到的形狀如圖19e所示。然后將縮小的那一個蘋果放在上一步得到的鉗形結構的兩端之間，將兩端合起來。這樣，被縮小的球面Ⅰ'就能和切開的面Ⅰ粘在一起了，而被切開的面Ⅱ和Ⅱ'也自然地重新粘在了一起。最終我們獲得了一個順滑、精致的甜甜圈。

做上面這些有什么用呢？

說實話，沒什么用。這只是為了給你的想象幾何學能力做一點鍛煉罷了，這種腦力體操會加深你對彎曲空間和閉合空間這類不尋常的東西的理解。

如果你還想讓你的想象力跨越一大步，這里倒是有一個針對上述操作的“實際應用”。

其實你的身體也具有甜甜圈的結構，只是你可能從沒想過這一點。實際上，在每個生命誕生的極早期（胚胎階段），都會經(jīng)過一個名為“胚囊”的階段，它是球狀形態(tài)，中間有一條寬闊的通道，食物從一端進入，其中有用的物質被身體消化吸收，剩余部分就從另一端被排出。隨著生命體的發(fā)育，這個通道會變得更細更復雜，但基本原理依舊如故——甜甜圈形的幾何性質沒有變。

好吧，既然你也是甜甜圈，那就試試用圖19的逆向方法變換你的身體（只是想想！），使自己成為一個有內部隧道的“雙蘋果”。你會發(fā)現(xiàn)你身體里重重疊疊的部分會構成“雙蘋果”的主體，而整個宇宙，包括地球、月亮、太陽和恒星，都被擠進了“蘋果”中的環(huán)形隧道內！

你可以試著把你想象的樣子畫出來，如果你能畫得很好的話——薩爾瓦多·達利（Salvador Dali）[10]大概都會稱贊你是超現(xiàn)實主義繪畫的權威了！（圖20）

“翻過來的宇宙”。這幅超現(xiàn)實主義的畫作表現(xiàn)的是一個行走在地球表面的人仰望星空的場景。原圖經(jīng)圖19中演示的方式進行了拓撲學變換，因而地球、太陽和星星都被包裹進人體內的狹窄通道中，被他的內部器官所包圍。

盡管已經(jīng)說了很多了，但如果不討論一下左手性和右手性物體，以及它們與空間的一般性質的關系，我們就還不能結束這一部分的內容。

這一問題從一副手套開始講起會更好理解。

如果你對比一副手套中的兩只（圖21），你會發(fā)現(xiàn)兩者雖然外表完全一致，但其實有很大區(qū)別——你不能把左手套戴在右手上，反之亦是如此。你可以隨意旋轉、扭曲它們，但右手套還是只能戴在右手上，左手套也只能戴在左手上。同樣地，在鞋子、汽車的轉向機構（美系車和英系車）、高爾夫球桿和其他很多東西上，也存在著左右手性。

右手性和左手性的物體看上去很相似，但實際上大有不同。

相對而言，諸如禮帽、網(wǎng)球拍和其他很多東西就沒有這樣的區(qū)別——畢竟沒人會傻到去訂購一組左手專用的茶杯。如果有人要求你去找鄰居借一把左手用的扳手的話，那他絕對就是在耍你。

這兩類東西的區(qū)別在哪兒呢？只要稍微想一下你就會發(fā)現(xiàn)，像帽子或者茶杯這一類的物體，它們都是對稱結構的，你可以沿著對稱線將它們切成相等的兩半。但手套或鞋子就不存在這樣的對稱結構，你無法將其切開成兩個相同的部分。如果一個物體沒有對稱面，我們就說它是非對稱的，它可以被分成兩類——左手性的和右手性的。這種區(qū)別不僅存在于手套或者高爾夫球桿這些人造物體中，在自然界中也很常見。

例如，有兩種蝸牛，二者在其他方面都完全一樣，只是建造自己“房子”的方式有所不同：一種的殼是按順時針方向螺旋的，另一種是逆時針的。甚至在分子這種組成一切物質的微粒中，也存在著與左手套和右手套、順時針螺旋和逆時針螺旋的蝸牛殼一樣的左右手性。

當然，你看不到分子，但從晶體的形態(tài)及其具有的光學性質上也能看出它們的非對稱性。比如，就有兩種糖——右旋糖和左旋糖。而且，信不信由你，還有兩種吃糖的細菌，每種細菌只吃對應類型的糖。

如上所說，似乎將右手性物體，比如一只右手套，轉變成左手性物體是不可能實現(xiàn)的。但真的是這樣嗎？能不能設想出一種奇妙的空間，讓左右手變換能夠在那里實現(xiàn)呢？為解答這個問題，我們需要先從高級的三維視角上觀察平面中的扁平居住者。

如圖22，圖里展示了可能居住在平面世界的生命的例子——也就是只有兩個維度的世界。那個提著一串葡萄的站立者是“正臉人”，因為他只有“正臉”，沒有“側面”。而那個動物則是一頭“側面驢”，更準確地說，是“右側面驢”。當然我們也能畫出“左側面驢”，并且，因為它們都在平面上，所以從二維的視角來看，“左側面驢”和“右側面驢”之間的區(qū)別正如我們的三維空間中左右手套的區(qū)別一樣，你不能將它們頭并頭地貼在一起，因為如果想要把它們的鼻子和尾巴分別貼在一起的話，你就必須將其中一只翻個四腳朝天，可是這樣一來它就沒法站立了。

這是對一種居住在平面上的二維“陰影生命”的設想，這種二維生命不太“現(xiàn)實”。右邊的人有正臉但沒有側面，他不能把手中的葡萄送到自己的嘴里。左邊的驢子倒是很容易吃到葡萄，但它只能向右走，如果想向左走就只能倒退著走。雖然驢子倒退著走的情況并不罕見，但總而言之這種情況并不好。

但如果你將一頭驢子從平面上拿出來，在三維空間中翻轉它，再放回去，如此兩頭驢子就會是一模一樣的了。

以此類推，我們可以說將一只右手套變成左手套的方法，就是將其從我們所在的空間中拿開，在第四維度中適當?shù)匦D一下，然后再放回來。但我們的物理空間不具有第四維度，所以上述的方法恐怕是不可能實現(xiàn)了。那有沒有別的方法呢？

好，我們再回到二維世界，但不再受限于圖22那樣的普通平面，而是研究所謂的“莫比烏斯面”的性質。

“莫比烏斯面”這個名字源于第一位研究它的德國數(shù)學家的名字。想要制作一個莫比烏斯面也非常容易，只要將一條紙帶扭一下，然后再將其兩端粘起來做成一個環(huán)就可以了。如圖23那樣。

這種面有很多詭異的性質，其中之一只需用一把剪刀將它沿著中線剪開（沿圖23中的箭頭方向），你就能輕易發(fā)現(xiàn)。顯然，你會猜想這么做的結果無非就是把它剪開成了兩個環(huán)。試一下吧，你會發(fā)現(xiàn)你的猜想完全錯了：你還是只會得到一個環(huán)，而不是兩個，只不過它的長度變成了原來的兩倍，而寬度只剩原來的一半！

現(xiàn)在我們來看看如果“陰影驢”在莫比烏斯面上行走會發(fā)生什么吧。

假設它從位置1（圖23）開始走——從這個位置看，它是一頭“左側面驢”。它走啊走，經(jīng)過了位置2和位置3，你可以在圖上清晰地看到，最終它又重新回到了它出發(fā)的位置。但無論是你還是它都會覺得奇怪，因為它現(xiàn)在正處在四腳朝天的尷尬境地（位置4）。它自然可以翻個個兒，讓腿著地，但這樣一來它的頭就朝向另一個方向了。

莫比烏斯面和克萊因瓶。

簡而言之，只要在莫比烏斯面上轉一圈，“左側面驢”就可以變?yōu)椤坝覀让骟H”了。

另外，別忘了，在這個過程中，這只驢子一直是留駐在平面上的，并沒有到三維空間中進行翻轉。因此我們發(fā)現(xiàn)，在扭曲的平面上，右手性的物體也是可以被轉變成左手性的，反之亦然，只要讓它們在這個扭曲面上走一圈就行了。圖23所示的莫比烏斯環(huán)是另一種更為普通的表面的一部分，名為克萊因瓶（圖23右側）。它只有一個面，而且是閉合的，沒有邊界。如果這在二維平面上是可能的，那么在我們的三維空間中也一定存在著同樣的情況，當然，這需要對空間進行一定的扭曲。我們無法像看“陰影驢”一樣從外部看我們所在的空間，正所謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中”。但“天文空間是封閉的，并且以莫比烏斯面的方式扭曲著”這件事并非不可能。

如果這是真的，那么，環(huán)繞宇宙一圈的旅行者將會帶著一顆長在胸腔右邊的心臟返回，而手套和鞋子的生產流程則會因此而簡化很多——生產商們只需要生產一邊的鞋子和手套，然后載著其中的一半環(huán)繞宇宙一圈，回來的時候它們就能和剩下的一半配成一對了。

伴隨著這個奇妙的想法，我們結束了對奇異空間的不尋常性質的討論。

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[1]　幾何學（geometry）的名字來源于兩個希臘詞匯ge=earth（土地），或者說地面，meterin=to measure（測量）。顯然在構造這個詞時，古希臘人的興趣點在他們的房地產上。

[2]　拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小（譯注）。

[3]　這個詞在拉丁語和希臘語中的意思均為對位置的研究。

[4]　筆者對古朗特和羅賓斯博士以及牛津大學出版社對再現(xiàn)以下段落的準許表示感謝。對本書中提出的拓撲學的基本范例有興趣的讀者可以在《什么是數(shù)學？》中找到更詳盡的說明。

[5]　椒鹽脆餅（pretzel）是深受歐美地區(qū)的人喜愛的一種零食，形狀有點類似麻花（譯注）。

[6]　在德國占領奧地利之前三種顏色就夠了：瑞士涂綠色，法國和奧地利涂藍色，德國和意大利涂黃色。 作者寫作此書時正經(jīng)歷第二次世界大戰(zhàn)，在戰(zhàn)前納粹德國吞并了奧地利（因為奧地利是希特勒的故鄉(xiāng)），所以書中有這樣的說法（譯注）。

[7]　填色問題在平面上和在球面上的情況是相同的，因為當球面填色的問題被解決之后，我們只要在某個區(qū)域開一個小洞，將球面“攤開”在平面上就行了。這還是一個典型的拓撲學變換。

[8]　“甜甜圈”和“輪胎”都是指中間凹陷的多面體形狀（譯注）。

[9]　 本書初版寫作的時間是第二次世界大戰(zhàn)剛結束，紐約于1939年舉辦了世博會，之后第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)，世博會停辦，因而說“上一屆”（譯注）。

[10]　達利是20世紀西班牙著名畫家，他的作品以超現(xiàn)實主義風格為主，與畢加索和馬蒂斯并稱為20世紀最具代表性的三大畫家，代表作《記憶的永恒》（譯注）。