2.無須測量的幾何學

你對幾何學的記憶應該來自你的學生時代，這是一門關于空間度量的科學[1]，它主要包含了大量有關距離和角度之間的數值關系的定理（比如畢達哥拉斯定理就是關于直角三角形三條邊之間的關系的），然而事實上，與空間有關的大部分基本性質并不需要借助長度或角度的測量來規范。幾何學里有關這些內容的分支叫作拓撲學[2]（analysis situs/topology）[3]，它是數學領域中最具刺激性的，也是最難的分支之一。

下面來舉一個典型的關于拓撲學問題的簡單例子。假設有一個完全閉合的幾何面，例如一個球面，用一組線將其劃分成一些單獨的區域。你可以準備一張圖，上面畫著一個球，在球上隨意取一些點，用不交叉的線連接這些點。那么，這些點的數目、連線的數目和區域的數目之間有什么聯系呢？

首先，如果我們將這個球體壓成一個南瓜狀的扁球體，或者拉長成黃瓜那樣的長條，顯然點、線、面的數量是不會改變的（圖13）。

一個被劃分成幾塊的球體變換成一個多面體。

事實上，我們可以取任何形狀的閉合曲面，像隨意擠壓一個橡皮氣球一樣，只要不割破或撕裂它，上述問題的形式和解法都不會有絲毫的改變。這個事實表明，拓撲學中存在的數值關系與常規的幾何學（例如線性維度的尺度、平面區域的表面積和幾何體的體積之間的關系）有所不同，兩者之間形成了鮮明的對比。當然，如果我們把一個立方體拉成了平行六邊形，或者把球體壓成了一個薄餅的話，這種關系也會出現嚴重的扭曲。

現在，讓我們把這個被劃分成了數個區域的球面按區域展平，使得這個球體變成一個多面體，這樣一來劃分邊界的線就變成了多面體的棱，而原來的那些點變成了多面體的頂點。

這樣我們之前的問題就能轉化為（本質上卻沒有改變）“一個任意形狀的多面體中，頂點、邊和面之間的關系”的問題。

圖14給出了五個正多面體，它們的每一面都有相同數量的邊和頂點，還有一個僅僅依據想象畫出來的不規則多面體。

我們可以數一下每個幾何體的頂點、邊和面的數量，這些數量之間有何關系呢？

直接數下來，我們可以得到下面的表格。

起初，表格中的三列（V、E和F）數字似乎沒有確切的聯系，但在稍做研究之后你會發現，V列加上F列總比E列多2。因此可以寫下這樣的數學關系式：

V+F=E+2

那么，這個關系是只存在于圖14給出的五個特定的正多面體中，還是對任何多面體都適用呢？如果你嘗試畫一下其他不同于圖14的多面體，數它們的頂點、邊和面，你會發現這個關系是普遍適用的。顯而易見，V+F=E+2是拓撲學中一條普適的數學定理，這個關系表達式與邊長、面積的測量沒有關系，只與涉及的不同幾何單元（就是頂點、邊和面）的數目有關。

五個正多面體（它們只能是這樣的形狀）和一個“畸形體”。

我們剛剛發現的關于多面體頂點、邊和面的數目的關系最早被17世紀法國著名數學家內奈·笛卡爾（René Descartes）注意到，而針對它的嚴謹證明則是后來由另一位數學巨擘歐拉完成的，這個定理被命名為歐拉定理。

以下是歐拉定理的完全證明，引自古朗特（R . Courant）和羅賓斯（H . Robbins）的著作《什么是數學？》（What Is Mathematics?）[4]，大家可以看看這項定理是怎么被證明的：

“為證明歐拉的公式，我們可以把給定的一個簡單多面體想象成一個橡皮薄膜制成的中空體（圖15a），如果把這個中空多面體的一面切掉，我們就可以扭曲剩下的幾個面的形狀，直至其展開成一個平面（圖15b）。當然，這樣一來每一面的面積和棱與棱之間的角度都會發生改變，但這個平面上的頂點和網狀的邊的數量仍然與原來多面體的頂點和邊的數量相同，而多邊形的數目則要比原來多面體的面的數目少1，因為我們切掉了一個面。

歐拉定理的證明。這里的圖是特別對一個正方體而言的，但它適用于其他任何多面體。

現在我們可以用V?E+F=1來表示這個平面網絡內的關系，因而，如果算上被切掉的面，對于多面體而言，其結果就是V?E+F=2。

“首先，我們將這個平面網絡以如下形式‘三角形化’：給不是三角形的多邊形加一條對角線。這樣的作用是將E和F各增加1，V?E+F的值不變。我們繼續畫對角線，直到整個圖形包含的全部是三角形（圖15c）。這個三角形網絡中V?E+F的值，與將其劃分為三角形之前是相等的，因為增添對角線并沒有改變這一數值。

“有些三角形的邊在這個平面網絡的邊界上，它們中有的只有一條邊在邊界上，例如△ABC，而另一些則有兩條邊在邊界上。我們將這些‘邊界三角形’中不同時屬于其他三角形的邊去除（圖15d）——即在△ABC中，我們移除邊AC和整個面，只留下頂點A、B、C和邊AB、BC；在△DEF中，我們移除整個面，以及兩條邊DF、FE和頂點F。

“對△ABC式的三角形的移除，使得E和F各減去1，而V不受影響，因而V?E+F的值不變；對△DEF式的三角形的移除，使得V減1，E減2，F減1，最后V?E+F的值依舊保持不變（圖15e）。

“在進行了一系列這樣的操作之后，我們一步步地去除了在邊界上有邊的三角形（每次移除都會改變下一次的可選項），直到最后只剩下一個三角形——三條邊、三個頂點和一個面（圖15f）。在這個最簡單的平面網絡中，V?E+F=3?3+1=1。

“我們可以發現，隨著三角形的去除，V?E+F的值從未改變。因此在最初的平面網絡——那個缺少了一個面的多面體中，V?E+F的值也必然等于1。所以我們可以總結，在一個多面體中，V?E+F=2。這就是歐拉的公式的完整證明。”

從歐拉的公式得到的一個有趣的推論是，只可能存在五種正多面體，也就是圖14中給出的那五種。

仔細鉆研一下前幾頁的討論，你可能會注意到，在畫出圖14里的“各種各樣的”多面體，和用數學方法證明歐拉定理時，我們做了一個隱藏假設，導致我們對多面體的選擇受到了限制——我們受限于只能選擇沒有任何洞眼的多面體。這個洞眼指的不是類似撕開橡皮氣球得到的洞，而是像甜甜圈或者橡膠輪胎中間的那種閉合的、連通兩個相對面的洞。

粗看一眼圖16你就會清楚了。這里有兩個幾何體，和圖14里給出的一樣，也是多面體。

兩個有洞眼的立方體，第一個有一個洞眼，第二個有兩個。它們的面不都是矩形，但對于拓撲學而言，這一點是無所謂的。

我們來看看歐拉定理對這兩個新的多面體是否適用。

于第一個而言，我們數出來總共有16個頂點、32條邊、16個面，因此V+F=32，而E+2=34。于第二個而言，有28個頂點、46條邊、30個面，因此V+F=58，而E+2=48。這又錯了！

為什么會這樣呢？我們得到的歐拉定理的普遍證明，為什么在這兩個例子里就不適用了呢？

問題在于，我們可以把之前考慮的多面體看作足球球膽或氣球，而新給出的中空多面體卻更像是橡膠輪胎或者更復雜的橡膠制品。

數學證明無法應用于這種新型的多面體，因為我們無法對其進行證明過程中的幾項必要的操作，即“將中空多面體的一個面切去，變形剩下的面直至其展開在一個平面上?！?/p>

如果你拿來一個足球球膽，用剪刀剪去其表面的一塊，再完成上述的要求，這是沒有困難的。但你不能用一個橡膠輪胎實現這一點，無論你怎么做。如果圖16還不足以讓你信服的話，就拿一個輪胎自己試試吧！

但你不要認為這種更復雜的多面體的V、E和F之間就不存在關系，關系是有的，只是不一樣罷了。對于甜甜圈類型的，或說得更科學點，對環面類型的多面體而言，這三者之間的關系滿足V+F=E；而對于“椒鹽脆餅”形[5]的多面體而言，這三者則滿足V+F=E?2?？偠灾梢愿爬椋篤+F=E+2?2N，其中N是洞眼的個數。

另一個與歐拉定理密切相關的典型拓撲學問題就是“四色問題”。

假設有一個球面，上面被劃分出一些獨立區域，需要我們給這些區域上色，要求是要滿足任何兩塊相鄰的區域（就是有公共邊界的那些）的顏色都不相同。那么，想要完成這項任務所需的顏色種類最少是多少？

很明顯，只有兩種顏色是不夠的，因為當有三條邊界相交在一點時（例如圖17中美國的弗吉尼亞州、西弗吉尼亞州和馬里蘭州的地圖），我們需要給這三個州填充不同的顏色。

需要四種顏色的例子（德國占領奧地利時的瑞士地圖）也不難找到（圖17）。[6]

左：馬里蘭州、弗吉尼亞州、西弗吉尼亞州的地圖。

右：瑞士、法國、德國和意大利的地圖。

但無論你如何嘗試，你永遠都無法想象出一個需要超過四種顏色才能滿足上述要求的地圖，無論是在球面還是在平面[7]上。似乎無論我們將地圖設計成多復雜的樣式，四種顏色都足以幫我們區分出一條邊界兩邊的國家。

好吧，如果上面的結論是對的，那我們理應可以通過數學方法來證明它，可惜歷經幾代數學家的努力都沒能得出證明結果。這是一個無人存疑，但又無人能夠證明的數學問題的典例。已經有人用數學方法證明了五種顏色是足夠的，這是目前為止最接近的成果。這個證明是基于歐拉關系得出的，已經應用于國家數、邊界數，以及三個、四個等多個國家彼此相鄰的點的個數的計算。

在此我們不再對五色理論給出證明，因為它過于復雜，加之對其進行討論證明已經遠遠偏離了主要的話題，不過有興趣的讀者可以在很多拓撲學的書籍中找到關于它的證法，然后花一個愉快的夜晚（可能會是個不眠之夜）去研究它。

如果有哪位能夠證明不需要五種顏色，只要四種顏色就足夠了，或者對這一結論的真實性存疑，并成功畫出一幅四種顏色還不夠用的地圖，只要能達成這兩者之一的成就，那么他的名字就將被銘記于接下來數個世紀的純粹數學史冊上。

無比諷刺的是，在球面或平面上至今仍沒能得出解法的填色問題，在例如甜甜圈形或者椒鹽脆餅形這種更復雜的幾何面上卻被輕易解開了。

例如，已經有確鑿的證明表明，在甜甜圈形狀的表面上任意劃分區域，僅需要七種顏色即可滿足任意兩個相鄰區域不重色這一要求，而事實上也確實如此。

如果想再費點腦筋的話，大家可以拿一個充氣的輪胎和七種不同色的顏料，然后嘗試給輪胎表面的區域上色，使得每個區域周圍的顏色都不同。在完成這些操作以后，他就可以說“我對甜甜圈形狀心里有數了”。[8]