第四章 四維的世界

1.時間是第四維度

四維的概念總是籠罩著詭秘和猜疑。我們這些只有長、高和寬的生命怎敢談論四維空間呢？集結我們三維人的全部智力去設想更高的第四維度，現實嗎？

一個四維的正方體或球體是什么樣的呢？當我們說“想象”一頭鼻子噴火、長著長長的尾巴、滿身鱗片的巨龍，或一架帶有游泳池、機翼上建著一對網球場的超級客機時，你會自然地在腦海中描繪出這些東西的樣子。而你繪出的這些圖片的背景，仍是我們熟悉的，所有物體，包括我們自身都處在其中的三維空間。如果這就是“想象”一詞的含義，那么在三維空間的背景下想象四維空間，這件事自然是不可能的，就好像我們也不可能將一個三維物體壓到平面上一樣。

且慢，從某種意義上來說，我們其實可以通過把它們畫下來的方式，將三維物體“擠”到平面上。不過，不論是用何種方式，我們都不會通過水壓機這樣的物理方法來實現，而是通過幾何“投射”，或者說，“造影”的形式來完成。

如圖24，你就能立刻明白這兩種將物體（以馬為例）擠壓到平面上的方式的區別。

錯誤的和正確的將三維物體“擠壓”到二維平面的方法。

用類比的方法我們可以說，我們雖然不能將四維物體完全“壓進”三維空間里，但我們能將四維物體“投影”到我們只有三維的空間里。不過有一點你需要明白，如同三維物體的平面投影是二維的一樣，四維的超物體投影到我們的正常空間后也應該是由立體形狀來表示的。

為了更好地理解這個問題，我們先來設想一下居住在平面上的二維生命是如何看待三維立方體的——既然身為更高級的三維生命體，我們應該能夠輕易地想到這一點。我們可以從第三個方向（相對于二維平面而言）居高臨下地觀察這些二維的世界。

將立方體“壓進”平面的唯一途徑是用圖25所示的方法——將其“投影”到平面上。旋轉立方體，觀測它不同形式的投影，如此我們的二維朋友們就能夠多多少少得到一些“三維立方體”這種神秘的物體的性質。他們無法“跳出”他們所在的平面以我們的方式來看待這個立方體，只能觀測它的投影，例如，他們可能會說，這個立方體有八個頂點和十二條邊。請看圖26，你會發現，你與正在檢視立方體在平面上的投影的可憐的二維生命，處在完全相同的境地。事實上，圖片里這個正被一家人驚詫地研究著的古怪的復雜結構，正是四維超立方體在我們普通的三維空間中的投影。[1]

二維生命正詫異于一個三維立方體在他們所處的表面上投下的影子。

一位來自四維的訪客！這是一個四維超立方體的直接投影。

仔細檢查這個物體，你會很快發現，它和困擾著圖25中的陰影生物的物體有著一樣的性質：普通的立方體在平面上的投影呈現出兩個正方形，其中一個正方形位于另一個的內部，它們頂點與頂點相連；而超立方體在普通空間中的投影也是由兩個立方體構成的，同樣是一個在另一個的內部，同樣是頂點與頂點相連，這兩種情況是類似的。數一數，你會很容易發現，超立方體總共有16個頂點、32條邊和24個面。好一個正方體，不是嗎？[2]

現在我們來看看四維球體長什么樣。為了搞明白這個，我們不得不把目光轉到一個更熟悉的例子上，也就是普通的球體在平面上的投影。

例如，設想一個透明的地球儀，表面繪有大洲和海洋，將其投射到一面白墻上（圖27）。

地球儀的平面投影。

在投影中，兩個半球顯然會重疊在一起，并且從投影的角度看，你會認為紐約（美國）到北京（中國）的距離很短，但這只是假象而已。事實上，投影上的每個點都表示實際在球面上兩個相對的點。一架從紐約飛往北京的航班，如果是在投影的球面上移動，那么它就要先到達平面投影的邊緣，再以相同的路徑返回。盡管兩條航線在投影圖像上是重疊的，但其實它們位于地球儀上相對的兩面，所以即使相遇也不會發生碰撞。

這就是普通的球體在平面上投影的一些性質。

再發揮一下想象力，你就能夠想出四維超球體投影到三維空間中的樣子了。

普通球體在平面上的投影是兩個重疊放置的扁平的圓盤（點對點），它們的外沿相連，由此可以聯想出，超球體的空間投影也一定是兩個球體互相貫穿，并且外表面相連。但我們已經在前一章討論過這種特別的結構了，當時是作為與封閉球面類似的封閉三維空間的例子而提出的。因而我們在這里要補充的是，四維球體的三維投影只不過是我們討論過的，兩個外表皮完全長在一起了的連體雙胞胎蘋果而已。

以此類推，用類比的方法我們就可以找出四維物體的許多其他性質，盡管我們無論如何都不可能在我們的物理空間中“想象出”四個獨立的方向。

但如果你再多思考一下你會明白，根本沒必要把第四個方向看得太過神秘。事實上，用一個我們每天都要用到的詞就可以表示，并且也確實就是物理世界的第四個獨立方向。沒錯，就是我們所說的“時間”。它和空間一起，經常被我們用來描述周圍發生的事件。當我們談論宇宙中發生的任何事情，無論是與朋友在街上的邂逅，還是遙遠恒星的爆炸，我們都不會只說它在何地發生，還會加上它在何時發生。也就是說，我們在三個表示空間位置的方向要素的基礎上，還加上了“時間”這一事實。

如果你進一步思考，你會輕易地發現，每個物理實體都有四個維度——三個維度屬于空間，另一個維度是時間。所以你居住的屋子就是從長度、寬度、高度和時間上伸展的，時間的伸展自其建成之日起，至燒毀之日終。當然也可能是被某個拆遷公司拆毀，或因年久失修而坍塌。

不過，時間方向與空間的三維方向不盡相同。時間間隔由鐘表測量，滴答聲表示秒，叮咚聲表示小時，而空間間隔是用尺子測量的。你可以用同一把尺子測量長度、寬度和高度，卻不能把尺子變成鐘表來測量時間的流逝。同樣地，當你在空間中前進、右轉或者向上時，你還可以返回原處，但你無法返回到某個時間點，你只能是被它強行地從過去帶向未來。不過即使存在著上述區別，我們仍可以將時間看作描述物理世界事件的第四個維度，只是要注意，它和其他三個維度是有區別的。

當選擇時間作為第四維度的時候，我們會發現，將本章開頭提到的四維物件具象化就更容易了。還記得嗎？那個由四維立方體投影而成的，有16個頂點、32條邊和24個面的奇怪圖形。也難怪圖26里的人們會詫異地盯著這個幾何怪物了！

然而，從我們全新的視角來看，一個四維立方體其實就是在一段時間內存在的普通的立方體（圖28）。

假設你在5月1日用12根鐵絲創造了一個立方體，一個月后拆掉它，那么現在，它的每一個頂點都可以被視為一條在時間方向上伸展了一個月的線。你可以在每個頂點上放一本日歷，每天翻一頁，以顯示時間的推進。

現在再去數四維形體的邊的數量就容易多了。此時，你有12條在一開始就存在的空間棱，還有8條由8個頂點在時間上延伸而成的“時間棱”，以及在它被拆掉之時存在的12條空間棱[3]，總共32條邊。以此類推，我們還可以數出總共有16個頂點——5月1日有8個空間頂點，6月1日也有8個。用同樣的方法也可以數出面的個數，這一點就留給我們的讀者作為練習了。不過要記住，其中一些面是立方體原本就有的面，而另一些是隨著原立方體的棱在5月1日到6月1日的時間里伸展出來的“半空間半時間”的面。

這里所說的有關四維立方體的內容自然也可以應用在別的幾何體上，或者任何有生命的、沒有生命的物體上。

甚至，你可以把自己想象成一個四維形體，一根從出生那一刻開始在時間上延展，直到自然生命終結之時才停止的橡膠棒。可惜的是我們不能在紙上繪出四維物體的樣貌，所以在圖29中，我們嘗試著用二維的陰影人來解釋這一觀點——取與他所居住的二維平面相垂直的空間方向作為時間方向，這樣一來，圖片展示的就是陰影人整個生命周期中的一小段。

如果是整個生命周期的話，用來表示的橡膠棒應當長得多。這根橡膠棒在嬰兒時期很細，隨著年歲的增長而不斷變化，最終在死亡之時固定不變（因為死人不會動呀），隨后開始分解。

更準確地說，這個四維的棒是由大量獨立的纖維聚集而成的，每一束都包含獨立的原子。在整個生命周期中，大多數纖維都聚攏在一起，只有少數會脫落，如剪掉的頭發和指甲。由于原子是堅不可摧的，因此人體死后的分解過程應該視為是獨立的纖維絲在各個方向上逐漸游離的過程（構成骨骼的纖維除外）。

在四維時空的幾何學語言中，表示每個單獨物質微粒的歷史的線，被稱為“世界線”[4]。同樣，組成某個物體的一系列世界線可以被稱為“世界束”。

圖30表示的是太陽、地球和一顆彗星的世界線的天文學實例。[5]如前面的例子所表述的，我們將時間軸垂直于二維空間的平面（地球軌道的平面）。太陽的世界線表示為與時間軸平行的直線，因為我們將太陽視為靜止的。[6]以接近正圓的軌道運轉的地球的世界線螺旋環繞在太陽的世界線周圍，彗星的世界線也是如此，只不過它時而靠近太陽，時而遠離。

從幾何學的視角看待四維空間，我們可以看到，宇宙的拓撲學圖景和歷史都融入了一幅協調的圖畫當中，當我們思考每個原子、動物和星星的運動時，我們只需研究一團糾纏的世界線就可以了。