第四節 對反駁的答復

我們關于空間和時間的體系是由兩個密切關聯的部分組成的。第一個部分依靠于下面這個推理連鎖。心靈的能力不是無限的；因此，任何廣袤或持續觀念都不是由無數的部分或較小的觀念組成的，而是由數目有限的、簡單而不可分的觀念所組成的。因此，空間和時間是可能符合于這個觀念而存在的：如果是可能的，也就可以斷定，它們實際上是符合這個觀念而存在的；因為它們的無限可分性是完全不可能的和自相矛盾的。

我們的體系的另一個部分是前一部分的結果。空間和時間觀念所分解成的一些部分，最后成為不可分的；這些不可分的部分由于本身是非實在物，所以如果不被某種真實的、存在的東西所填充，便不可能想象。因此，空間和時間觀念不是各別的或獨立的觀念，而只是對象存在的方式或秩序的觀念；或者，換句話說，我們不可能想象一個沒有物質的真空和廣袤，也不能想象一段沒有任何真實存在物的接續或變化的時間。我們的體系的這兩個部分因為有這種密切的聯系，所以我們將一并研究那些對這兩個部分所提出的反駁；我們首先要研究反對廣袤的有限可分說的那些反駁。

Ⅰ.我要研究的第一個反駁，更適合于證明這兩個部分的這種互相聯系和依賴，而不可能摧毀其中任何一個部分。經院中往往有人主張說，廣袤必然是無限可分的，因為數學點這個理論是荒謬的。這個理論所以是荒謬的，乃是因為數學點是一個非實在物，因此它和其他的數學點結合起來絕不可能形成一個真實的存在。如果在物質的無限可分性和數學點的非實在物之間沒有任何中介，這種反駁應該是完全有決定性的。但是這里顯然有一個中介，即我們可以賦予這些點一種顏色或堅固性。兩個極端意見的荒謬正是這個中介的正確性和真實性的證明。物理點——另外一種的中介——的理論是太荒謬了，不值一駁。一個實在的廣袤，正像物理點被假設為是這樣的，不可能離開了互相差異的部分而存在；而一切差異的對象又都是可以被想象所區別和分離的。

Ⅱ.第二個反駁是從這里得來的，即如果廣袤是由一些數學點組成的，它們必然會互相滲透。一個簡單而不可分的原子和另一個原子接觸時，必然透入其中；因為它不能借它在外面的部分接觸另一個原子，由于原來假設它是完全簡單的，這就排斥了一切的部分。因此，第一個原子與第二個原子必然密切接觸，以它的全部本質（Secundum se tota，& totaliter）接觸；這正是互相滲透的定義。但滲透是不可能的，因此數學點也同樣是不可能的。

我可以用一個比較正確的滲透觀念來代替這個滲透觀念，借以答復這個反駁。假設有兩個在它們的周邊以內不含有空隙的物體互相接近，密合無間，使結合而成的那個物體較那兩個物體中任何一個的體積絲毫不大；這就是我們談到滲透時所指的意義。但是顯然，這種滲透只是指兩個物體中的一個被消滅了，另一個被保存了，同時我們也無法具體區別出哪個被保存了，哪個被消滅了。在接觸以前，我們有兩個物體的觀念。在接觸以后，我們只有一個物體的觀念。心靈對這樣兩個性質相同、而且在同一地點和同一時間內存在的物體，不可能保存它們之間的任何差異的概念。

如果照這種意義來說明滲透，把它認為是指一個物體在接觸另一個物體后即便消滅，那么我就要問任何人，他是否認為一個有色的或可觸知的點和另一個有色的或可觸知的點接觸之后、就必然要消滅呢？相反，他豈不是顯然看到，這兩個點的結合產生出了一個復合的、可分的對象么？這個對象豈不是可以分為兩個部分，而且這些部分雖然互相鄰接，豈不是仍然各自保存它們的各別的和獨立的存在么？為了更容易防止這兩個點的混合和混淆，他可以設想這兩個點有不同的顏色，借以幫助他的想象。一個紅點和一個藍點一定可以互相接觸、而不會滲透或消滅。因為，這兩個點要是不能這樣，那么它們可能成為什么呢？是紅點，還是藍點要被消滅呢？如果這兩種顏色結合為一，它們的結合又會產生哪種新顏色呢？

引起這些反駁、同時使我們對這些反駁難以提出一個滿意的答復的主要原因，乃是在于我們的想象和感官在運用于這類微小對象上時，有一種天然的缺陷和不穩定性。試在紙上畫一墨點，然后退到那樣一個距離，至墨點完全看不見為止；你將發現，在你返回來走近墨點的時候，墨點首先是時隱時現，隨后便經常可以看到了；再后來，只是它的顏色變得濃一些，它的體積卻并未增加；再后來，當它增加到顯得真正占有空間的程度時，想象仍然難以把它分裂為它的組成部分，這是因為想象不很容易構想象單一的點那樣一個微小的對象。這種缺陷影響了我們在當前這個題材上的大部分的推理，使人幾乎無法清楚地、并以恰當的語言來回答關于這個題材所可能發生的許多問題。

Ⅲ.反對“廣袤的部分”不可分說的許多反駁，都是從數學中得來的，雖然初看起來數學似乎反而是有利于現在這種學說的。不過數學在它的證明方面雖然是和現在這種學說相反的，但在它的定義方面卻完全和現在這種學說符合的。因此，我現在的任務就必然是要辯護數學的定義，而駁斥它的證明。

一個面被下定義為只有長度和寬度而沒有厚度：一條線被下定義為只有長度而沒有寬度或厚度；一個點被下定義為沒有長度、沒有寬度、也沒有厚度的東西。顯然，如果不根據廣袤是由不可分的點或原子組成的這一假設，那么根據其他任何的假設，這一套的說法便都是完全不可理解的。除了這個假設所假設的情形以外，任何沒有長度、沒有寬度或沒有厚度的東西能夠存在么？

對于這個論證，我發現曾有兩個不同的答復：據我看來，這兩個答復沒有一個是滿意的。第一個答復是：幾何學的對象，即幾何學研究它們的比例和位置的那些面、線和點，只是心中的一些觀念，不但從未存在于、并且也永遠不可能存在于自然界中。這些對象從未存在過，這是因為沒有人會自稱能夠完全符合了定義去畫一條線或作一個面；這些對象也永遠不能存在，這是因為我們可以就從這些觀念中提出論證來證明它們是不可能的。

但是，我們能夠設想還有比這種推理更為荒謬而矛盾的任何說法么？凡能通過一個清楚和明晰的觀念而被想象的東西必然涵攝它的存在的可能性；一個人如果自稱借著由這個清楚的觀念得來的任何論證來證明那個東西不可能存在，那他實際上就是在說，因為我們對它有一個清楚的觀念，所以我們對它沒有清楚的觀念。在心靈能夠明晰地想象的任何事物中，要想找出矛盾來，那是徒然的。如果它包含任何矛盾，那它就絕不可能被人想象。

因此，在承認不可分的點的可能性和否認這種點的觀念這兩者之間，沒有任何中介；對于前述論證所作的第二個答復，就是根據于后面這一個原則。有人主張說 [9] ，我們雖然不能想象一個沒有任何寬度的長度，可是我們可以通過一種不必把兩者分離的抽象作用，單獨考慮其中之一，而不去考慮另外的一個，正像我們可以考慮兩個城鎮間的道路的長度，而忽略去它的寬度一樣。不論在自然界或心中，長和寬都是不可分的；但這并不排斥根據前面所說明的方式去作一個片面的考慮和理性的區別。

在反駁這個答復時，我自然可以援引我在前面已經充分地說明的那個論證，即心靈如不能在它的觀念方面達到一個最小的限度，那么它的能力必然是無限的，這樣才能接納它的任何廣袤觀念所由組成的無數的部分。不過我在這里不堅持我的這個論證，而將力圖在上述的那種推理中發現一些新的謬誤。

一個面是一個立體的界限，一條線是一個面的界限；一個點是一條線的界限：不過我肯定說，如果一個點、一條線或一個面的觀念不是不可分的，我們便不可能想象這些界限。因為，假設這些觀念是無限可分的，隨后再使想象力圖固定在最后的面、線或點的觀念上，想象便立刻會發現，這個最后的觀念分裂為一些部分；而當想象抓住這些部分中的最后一個時，便又由于一次新的分裂而失去掌握，如此無限地繼續下去，想象將永遠不可能達到一個最后的觀念。不論分裂多少次數，也都不能比想象所形成的最初觀念使想象更為接近于最后的分裂。每一個分子都因為一次新的分裂，使人無法掌握，正像我們竭力去抓住水銀的情況一樣。但是，由于事實上必須有某一個觀念來作為每一個有限的數量觀念的界限，而且這個界限觀念本身不能再由一些部分或較小的觀念組成，否則便是它的最后部分才是觀念的界限，（如此一直可以推下去）；這就清楚地證明了面、線和點的觀念不容許再分的了，即面的觀念在厚度上不能再分，線的觀念在寬度和厚度上不能再分，點的觀念在長度、寬度、厚度任何一方面都是不能再分的了。

煩瑣哲學家們十分感到這種論證的力量，因而他們中間有些人就認為，自然在那些無限可分的物質分子中間摻進去了一些數學點，借以作為物體的界限；其他一些人卻又通過一大堆毫無意義的指摘和區別，企圖逃避這個論證的力量。這兩種敵人都同樣地認輸了。一個躲藏起來的人正和一個公開地交出武器來的人一樣，都是明顯地承認了他們敵人的優勢。

由此可見，數學的定義摧毀了它的那些所謂的證明；如果我們有符合定義的不可分的點、線和面的觀念，它們的存在也就確實是可能的；但是如果我們沒有這樣的觀念，我們便不可能想象任何一個形的界限；而要是沒有了這種概念，那就不可能有幾何的證明。

不過我還可以再進一步斷言，這些證明沒有一個具有充分的力量，足以建立像無限可分說的那樣一個原則。這是因為對于這些微小的對象來說，這些證明不是恰當的證明，因為它們所依靠的觀念并不精確，它們所依靠的原理也并不正確。當幾何學關于數量的比例有所決定的時候，我們不應當要求極端的確切和精確。幾何的證明沒有一個達到這樣的程度。它正確地設定形的度次和比例，但只是粗略地，而且有些任意。幾何學的錯誤從來不是重大的，而且如果幾何學不是企圖達到那樣一種絕對的完善，它就根本不會錯誤。

我首先要問數學家們，當他們說一條線或一個面等于、大于或小于另一條線或另一個面的時候，他們的意義是什么？讓任何一位數學家作出一個答復，不論他屬于哪個學派，也不論他是主張廣袤是由不可分的點組成的，或是由無限可分的數量組成的。這個問題將會使這兩種人同樣地感到困難。

很少或者簡直沒有一個數學家擁護不可分的點的假設；可是恰好是這些數學家們對于現在這個問題給予最敏捷而最確當的答復。他們只須答復說：當一些線或一些面中間的點的數目相等時，這些線或面也就相等；而且隨著點的數目比例的變化，線和面的比例也就跟著變化。這個答復雖然是明顯的，而且又是確當的，可是我可以肯定說，這個相等的標準是完全無用的，而且我們在決定一些對象彼此相等或不相等時，也永遠不根據這樣一種的比較。因為，由于組成任何線或面的一些點，不論是視覺還是觸覺所感知的，都是那樣地微小而且互相混淆的，所以心靈絕不可能計算它們的數目，這樣一種計算永遠不能為我們提供一個判斷各種比例的標準。沒有人能夠通過精確的計數去決定，一英寸比一英尺所含的點較少，或者是一英尺比一埃耳（ell）或其他較長的尺度所含的點較少。由于這個緣故，我們很少或永不認為這種計數法是相等或不相等的標準。

至于設想廣袤是無限可分的那些人，就不可能利用這個答復，或是通過任何一條線或一個面的組成部分的計數，來決定這條線或這個面是否和另外的線或面相等。因為，按照他們的假設，最小的和最大的形既然都包含有無數的部分，而無數的部分，恰當地說，彼此又不能是相等的或不相等的，所以任何空間部分的相等或不相等，絕不能決定于它們的部分的數目的任何比例。誠然，人們可以說一埃耳和一碼的不相等，在于組成兩者的英尺數不同，而一英尺與一碼的不相等在于組成兩者的英寸數不同。不過由于在一種長度方面所稱為英寸的那個數量被假設為等于另一種長度方面我們所說的吋，而由于心靈不可能無限地參考這些較小的數量，來發現這種相等的關系；那么顯然，我們最后就不得不另外確立一個和部分計數法不同的標準。

還有些人 [10] 認為，相等的最好的定義就是相合（congruity），當任何兩個形互相重疊、而它們的各個部分都是互相符合和接合時，這兩個形便是相等的。要判斷這個定義，我們可以作這樣的考慮：相等既然是一種關系，所以嚴格說來，相等并不是形的本身的一個特性，而只是由心靈對一些形所作的比較中產生出來的。因此，相等關系如果在于各部分之間這種假想的疊合和互相接觸，我們就必須至少對這些部分有一個明晰的概念，并且也必須想象到它們的接觸。但是顯然，在這種想象中，我們就要把這些部分分到我們所能想象的最小限度；因為較大的部分的接觸決不能使這些形成為相等。但是我們所能想象的最小部分就是數學點；因此，這個相等標準與點數相等的標準是一樣的；而后面這個標準，我們已經判定是一個雖然確當但是無用的標準。因此，我們必須在別處尋求現在這個困難的解決。

〔有許多哲學家不肯指定任何相等的標準，而只是說，只要拿出兩個相等的對象來，就足以給予我們以這個比例的一個正確觀念。他們說，如果沒有對于這一類對象的知覺，一切定義都是無效的；而當我們知覺到這類對象時，也就不再需要任何定義了。我完全同意這個推理，并且主張，關于相等或不相等的惟一有用的概念，是從各個特殊對象的整體現象和比較得來的。〕

因為，顯而易見，眼睛、或者倒不如說是心靈，往往在一看之下就能夠確定物體的比例，斷言它們是相等、較大或較小，不必考察或比較它們的微小部分的數目。這一類的判斷不但是很普通的，而且在許多情形下還是確實而無誤的。當一碼的長度和一英尺的長度呈現在前時，心靈就不能懷疑碼比英尺較長，像它不能懷疑那些最為清楚和自明的原理一樣。

因此，心靈在它的對象的一般現象中區別成三種比例，把它們稱為較大、較小和相等。但是心靈關于這些比例的判斷雖然有時是正確的，但并非永遠如此；我們這一類的判斷并不比關于其他任何題材的判斷更能免于懷疑和錯誤。我們通常是借檢查和反省來改正我們的第一次的意見：我們會肯定我們原來認為是不相等的對象是相等的，我們會認為先前顯得比另一個對象較大的一個對象是較小的。我們感官的這種判斷也不單是受到這樣一種的校正；我們還往往把一些對象并列起來，借以發現自己的錯誤。而在無法并列的時候，我們便用一種共同的和不變的尺度連續地加以度量，這就把各種不同的比例報告我們。甚至這種校正也還容許新的校正，并且也可以有各種不同的精確程度，這就要看我們度量物體時所用的工具的性質如何，和我們進行比較時仔細的程度如何而定的。

因為，當心靈習慣于這些判斷和它們的校正，并發現使兩個形在眼中顯出我們所稱為相等這一現象的那個同一的比例，同樣也使這兩個形互相符合，并且符合于比量它們的任何共同尺度的時候，我們便從粗略的和精密的兩種比較方法得到一個關于相等的混合概念。但是我們還不以此為足。因為，由于健全的理性使我們相信，除了呈現于感官前的物象以外，還有遠遠地比它們小得很多的物體；而虛妄的理性又要促使我們相信，還有無限地更為微小的物體；于是我們便清楚地看到，我們并沒有任何度量的工具或技術，可以使自己免除一切的錯誤和不確定。我們知道，這種微小的部分增加或減少一個，無論在現象中或度量時，都是覺察不到的；而由于我們想象，兩個原來相等的形在經過這種增加或減少以后、不可能還是相等，所以我們就又假設了某種假想的相等標準，以便精確地校正種種現象和度量，并將種種的形完全歸約到那個比例。這個標準顯然是假想的。因為，相等觀念本身既然是由并列或共同的尺度所校正過的那樣一個特殊現象的觀念，所以除了我們具有工具或技術可以進行校正以外，其他任何的校正概念都只是心靈的一種虛構，既是無用的，也是不可理解的。不過這個標準雖然只是假想的，而這個虛構卻是很自然的；而且原來促使心靈開始任何活動的理由即使停止了，心靈仍然會依照這種方式一直繼續下去，這也是十分通常的事情。在時間方面，這一點顯得十分明白；在這方面，我們顯然沒有確定各部分的比例的精確方法，這里的精確程度甚至還不及在廣袤方面；可是我們的測量標準的各種校正以及它們的各種精確程度，卻給予我們以一個模糊的、默認的完全相等的概念。在其他許多題材方面，情形也是一樣。一個音樂家發現自己的聽覺一天一天地變得精細起來，同時借反省和注意經常校正自己，于是即使在他對于題材無能為力的時候，仍然繼續同一的心理活動，并認為自己有一個完整的第三音或第八音的概念，雖然他無法說出自己從哪里得到他的標準。一個畫家對于顏色也形成同樣的虛構。一個機匠對于運動也是一樣，畫家設想明和暗，機匠設想快和慢，認為都能夠有一種超出感官判斷以外的精確的比較和相等。

我們也可以把同樣的推理應用于曲線和直線。對感官來說，沒有東西比曲線和直線的區別更為明顯的了，也沒有任何觀念比這些對象的觀念能夠被我們更容易地形成的了。但是，不論我們怎樣容易形成這些觀念，我們卻無法舉出確定它們的確切界限的任何定義來。當我們在紙上或任何連續面上畫出一些線條的時候，這些線條依照一定的秩序從一點到另一點移動，因此可以產生一條曲線或直線的完整印象；但是這種秩序是我們所完全不知的，被觀察到的只是合成的現象。所以，即使根據不可分的點的理論，我們對這些對象也只能形成某種不知的標準的模糊概念。要是根據無限可分說，我們甚至走不到這么遠的地步，而只好歸到一般的現象，以它為決定一些線條是曲線或是直線的準則。但是，對于這些線條，我們雖然不能給予任何完善的定義，也不能舉出任何十分精確的方法來把一條線和另一條線加以區別；但這并不妨礙我們作更精確的考究，并以我們經過屢次試驗認為它的正確性比較可靠的一個準則來作比較，借以校正最初的現象。就是由于這些校正，并由于心靈在已經沒有理性作為根據時仍然要繼續同樣的活動，所以我們就形成對于這些形的一個完善標準的模糊觀念，雖然我們并不能加以說明或加以理解。

的確當數學家們說“直線是兩點之間最短的路線”時，他們自以為是下了一個精確的直線定義。但是，首先我要說，這更恰當地是直線的特性之一的發現，而不是它的正確定義。因為我問任何人，在一提到直線時，他豈不是立刻會想到那樣一個的特殊現象，而只是偶然才會想到這種特性嗎？一條直線可以單獨地被理解，可是我們如果不把這條直線和我們想象為較長的其他線條加以比較，這個定義便不可理解。通常生活中有一個確立的原理，即最直的路線總是最短的路線；這就和說最短的路線總是最短的路線一樣荒謬，如果我們的直線觀念與兩點之間最短路線的觀念并無差別的話。

第二，我再重復一次我已經確立的說法，即我們不但沒有精確的直線或曲線的觀念，同樣也沒有精確的相等或不相等、較短和較長的觀念；因此，后者絕不能給予我們對于前者的一個完善的標準。一個精確的觀念永遠不能建立于那樣模糊而不確定的觀念之上。

平面的觀念也和直線的觀念一樣，不能有一個精確的標準，除了平面的一般現象以外，我們也沒有任何其他判別這樣一個平面的方法。數學家們把平面說成是由一條直線的移動而產生出來的，這是無效的。我們可以立刻反駁說：我們的平面觀念之不依賴于這種形成平面的方法，正如我們的橢圓形觀念之不依賴于錐形的觀念一樣；我們的直線觀念也并不比平面觀念更為精確；一條直線可能不規則地移動，因此而形成一個與平面十分不同的形；因此，我們必須假設這條直線要沿著兩條互相平行的并在同一平面上的直線移動；這就成了以事物的本身來說明這個事物、循環論證的一個說法。

由此看來，幾何學中一些最根本的觀念，即相等和不相等、直線和平面那些觀念，根據我們想象它們的通常方法，遠不是精確而確定的。不但在情況有些疑問時，我們不能說出，什么時候那樣一些特殊的形是相等的，什么時候那樣一條線是一條直線，那樣一個面是一個平面；而且我們同樣也不能對于那個比例和這些形形成任何穩定而不變的觀念。我們仍然只能乞求于我們根據對象的現象所形成的、并借兩腳規或共同尺度加以校正的那個脆弱而易錯的判斷。我們如果再假設進一步的校正，這種假設的校正如果不是無用的，便是假想的。我們如果竟然采納那種通常的說法，采取一個神的假設，以為神的全能可以使他形成一個完善的幾何的形，并畫出一條沒有彎曲的直線：那也是徒然的。這些形的最終標準既然只是由感官和想象得來，所以如果超出了這些官能所能判斷的程度之外去談論任何完善性，那就荒謬了；因為任何事物的真正完善性在于同它的標準符合。

這些觀念既然是那樣模糊而不確定，我就要問任何一個數學家，他不但對于數學中一些比較復雜而晦澀的命題，就是對于一些最通俗而淺顯的原理，都有一些什么無誤的信據呢？例如，他如何能夠向我證明，兩條直線不能有一個共同的線段？他又如何能夠證明，在任何兩點之間不可能畫出一條以上的直線呢？他如果對我說，這些意見顯然是謬誤的，并且和我們的清楚的觀念相抵觸；那么我就會回答說，我不否認，當兩條直線互相傾斜而形成一個明顯的角度時，要想象那兩條線有一個共同的線段是謬誤的。但是假設這兩條線以六十英里差一英寸的傾斜度互相接近，那我就看不出有任何謬誤去說、這兩條線在接觸時會變成一條線。因為，我請問你，當你說，我假設兩條線相合而成的那條線不可能像形成那樣一個極小的角度的那兩條直線一樣成為同樣的一條直線，你這時候是依照什么準則或標準來進行判斷的呢？你一定有某種直線觀念，和這一條線不相一致。那么你的意思是否說，這一條線中的點的排列秩序和它們所遵循的規則，和一條直線所特有的、而且是它的根本條件的那個秩序和規則不同呢？如果是這樣，那么我必須告訴你，要是依照這個方式進行判斷，你就已經承認了廣袤是由不可分的點組成的（這也超出了你的本意），而且除此以外，我還必須告訴你，這也不是我們形成一條直線觀念時所根據的標準；即使是的話，我們的感官或想象也沒有那樣大的穩定性，可以確定那個秩序何時被破壞了、何時被保存了。直線的原始標準實際上只是某種一般的現象；顯然，我們可以使直線之間有相合的部分而仍然符合于這個標準，雖然這個標準是經過了一切實際的或想象的方法加以校正。

〔數學家們不論轉向哪一邊，都會遇到這個困境。如果他們借一個精密而確切的標準，即計數微小的、不可分的部分，來判斷相等或任何其他比例，那么他們既是采用了一個實際上無用的標準，而又實際上確立了他們所企圖破壞的廣袤的部分的不可分說。如果他們像通常那樣，從一些對象的一般現象的比較中得到一個不精確的標準，加以應用，并通過度量和并列加以校正；那么他們的一些最初原則雖然是確定和無誤的，但也是太粗略了，不足以提供出他們通常由此所推出的那些精微的推論。這些最初原則是建立在想象和感官上面的。因此，結論也不能超出這些官能，更不能和它們抵觸。〕

這就可以使我們的眼界開闊一些，并使我們看到，證明廣袤無限可分性的任何幾何的證明，并不能有那樣大的力量，如像我們很自然地認為那種以輝煌名義作為支持的每一個論證應該具有的力量一樣。同時，我們也可以了解，為什么幾何學的所有其他一些的推理都得到我們的充分的同意和贊同，而單是在這一點上卻缺乏證據。的確，現在更需要做的，似乎是說明這個例外的理由，而不是指出我們實際上必須要作這樣一個例外，并把無限可分說的一切數學論證看成完全是詭辯的。因為，任何數量觀念既然都不是無限可分的，那么顯然，要試圖證明那個數量本身允許那樣一種分割，并且借著在這方面和它直接相反的一些觀念來證明這點，那便是所能想象到的最為顯著的一種謬誤了。這種謬誤本身既是十分顯著的，那么以它為基礎的任何論證必然會帶來一種新的謬誤，并且含有一個明顯的矛盾。

我還可以舉出一些由接觸點（point of contact）得來的無限可分性的論證作為例子。我知道，沒有一個數學家肯被人根據紙上所畫的圖形加以判斷，他會說，這些圖形只是一些粗略的草稿，只能較為簡便地傳達作為我們全部推理的真正基礎的某些觀念。我很滿意這種說法，并愿意將爭論只是建立在這些觀念上面。因此，我希望我們的數學家盡量精確地形成一個圓和一條直線的觀念。然后我就問，在想象兩者的接觸時，他還是想象線和圓在一個數學點上互相接觸呢，還是不得不把線和圓想象為在一段空間中相合呢？不論他選擇哪個方面，他都陷于同樣的困難地步。如果他肯定說，在他的想象中勾畫出這些形的時候，他能夠想象線與圓只在一點上接觸，那他便承認了那個觀念的可能性，因而也就承認了那個對象的可能性。如果他說，在他想象那些線條接觸的時候，他不得不使它們相合，那他因此便承認了幾何學證明在進行到超出某種微小程度的時候，便發生錯誤；因為他確是有反對一個圓和一條線的相合的那樣證明，換句話說，也就是他能夠證明一個觀念、即相合的觀念與一個圓和一條直線這兩個另外的觀念是不相容的，雖然他在同時卻又承認這些觀念是分不開的。