4 什么是天元術？

天元術是一元高次方程的求解方法。因為古人在設未知數立方程的時候，用“天元”來代表未知數，因此得名。

天元術起源于中國傳統的開方術。在《九章算術》中，就有用算籌開平方和開立方的方法，還給出了一些簡單的二次方程計算題，比如求x²+34x=71000的解。在唐代王孝通的《緝古算經》中，已經出現了解未知數系數大于零的一元三次方程的方法。但是當時的解法是幾何方法，不僅需要高超的數學技巧，還要經過復雜的推導和大量的文字說明才能完成。

北宋的賈憲提出了增乘開方法，用這種方法開平方和開立方要比此前的方法簡便得多，并且它的運算原則可以推廣到求任何高次冪和高次方程正實根的近似值。南宋的秦久韶在《數書九章》中已經可以求解十次方程的一個正根。

《測圓海鏡》書影

天元術大約產生于13世紀初，現存最早的有關天元術的著作是金元數學家李冶的《測圓海鏡》。全書共有170道題，全都是以一個直角三角形及其內切圓為基礎，來研究各種條件下如何用天元術求圓直徑的問題。

李冶列方程分為三個步驟，首先立天元一，也就是設未知數x；然后根據題目中的已知條件列出兩個等值且至少有一個天元的多項式；最后兩式相消成一個高次方程。

天元術是一種半符號代數學，它的產生是中國古代方程理論基本擺脫幾何思維的標志。天元術很快就被推廣到求解多元高次方程組。此后又出現了“二元術”和“三元術”，元代數學家朱世杰的《四元玉鑒》探討了四元高次方程組的解法，即“四元術”。