官术网_书友最值得收藏!

§1.4 行列式展開(kāi)定理

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生應(yīng)會(huì)求余子式和代數(shù)余子式,應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值;記住行列式展開(kāi)定理及其推論,掌握應(yīng)用行列式按行(列)展開(kāi)及范德蒙德行列式計(jì)算行列式.

低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便,那么高階行列式能否利用低階行列式來(lái)表達(dá)并計(jì)算呢?在這節(jié)我們將探討這個(gè)問(wèn)題.為此,先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念.

1.4.1 余子式與代數(shù)余子式

定義 在n階行列式中,將元素aij所在的行與列上的元素劃去,其余元素按照原來(lái)的相應(yīng)位置構(gòu)成的n-1階行列式,稱(chēng)為元素aij余子式,記作Mij.

令A(yù)ij=(-1)i+jMij,稱(chēng)Aij是aij代數(shù)余子式.

例1 求行列式中的元素a12,a34,a44的余子式和代數(shù)余子式.

解 

引理 在n階行列式D中,如果第i行的元素僅aij≠0,其余元素均為零,則D=aijAij.

1.4.2 行列式展開(kāi)定理

定理 n階行列式等于它的任意一行(列)的各個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即

證明 

類(lèi)似地,可證明.

該定理稱(chēng)為行列式按行(列)展開(kāi)定理,也稱(chēng)行列式的降階展開(kāi)式.

推論 n階行列式D的任意一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0.

例2 已知,求A11+A21+A31+A41.

解法1 因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/D52BA4/17180250005296906/epubprivate/OEBPS/Images/img00025001.jpg?sign=1753804328-aA81uf7iVRf0k7UBcKgCRo6sN0ZUJ7lD-0-54919816965f2c2fc7e24edb35895b85">,

D1與D的第1列元素的代數(shù)余子式相同,所以將D1按第1列展開(kāi)可得A11+A21+A31+A41=0.

解法2 因?yàn)镈的第3列元素與D的第1列元素的代數(shù)余子式乘積之和為0,

3A11+3A21+3A31+3A41=0,

所以     A11+A21+A31+A41=0.

注意 在計(jì)算行列式時(shí)往往不急于展開(kāi)計(jì)算,通常總是根據(jù)行列式的性質(zhì)盡量把它的其中一行(列)中的更多元素變成零,然后對(duì)這一行(列)展開(kāi)再加以計(jì)算.

例3 計(jì)算.

解 

例4 計(jì)算行列式.

解 

例5 計(jì)算行列式.

解 

例6 設(shè)

,試證:D=D1D2.

證明 對(duì)D1作運(yùn)算ri+krj可把D1化為下三角形行列式,即設(shè)amm≠0,作運(yùn)算,將D中第m列前m-1個(gè)元素全化為零,如此繼續(xù)下去就可以將其化為下三角形行列式

對(duì)D2作運(yùn)算cj+kci可把D2化為下三角形行列式,設(shè)為

于是,對(duì)D的前m行作運(yùn)算ri+krj,對(duì)D的前n行作運(yùn)算cj+kci,把D化成下三角形行列式

故     D=p11p22…pnn=D1D2.

若例6寫(xiě)成,同樣

其中A是m2個(gè)元素aij排成m行m列的矩陣,|A|=D1;B是n2個(gè)元素bij排成n行n列的矩陣|B|=D2.此結(jié)論可以作為公式用.

*例7 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

其中 表示所有因子(xi-xj)(j<i)的連乘積,詳見(jiàn)§1.1.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=2時(shí),有

即當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)對(duì)于n-1階范德蒙德行列式成立,即

要證對(duì)n階范德蒙德行列式,結(jié)論也成立.為此,設(shè)法把Dn降階;從第n行開(kāi)始,后行減去前行的x1倍,有

(上式是(n-1)階范德蒙德行列式)

計(jì)算n階行列式,有時(shí)要用到數(shù)學(xué)歸納法,歸納法的主要步驟是不能省略的

例8 計(jì)算行列式

解 將該行列式轉(zhuǎn)置,則該行列式為0階范德蒙德行列式.

習(xí)題1.4 

1.設(shè)行列式,求含有元素2的代數(shù)余子式及其和.

2.設(shè)行列式,求第四行各元素余子式之和.

3.已知,試求:

(1)A12-A22+A32-A42;  (2)A42+A43+A44.

4.用行列式展開(kāi)定理計(jì)算下列行列式:

(1)   (2)

(3);  (4)

5.證明下列等式:

6.計(jì)算下列行列式:

(1);  (2)

(3)   (4)

(5)(6).

7.求下列方程的根:

主站蜘蛛池模板: 新泰市| 湟源县| 尼勒克县| 台南县| 浏阳市| 四子王旗| 深圳市| 托克逊县| 沂南县| 安西县| 怀化市| 瓦房店市| 五寨县| 玉门市| 普格县| 苍溪县| 沁阳市| 本溪| 遂川县| 涞水县| 固原市| 龙川县| 乌审旗| 睢宁县| 泉州市| 江阴市| 平舆县| 福贡县| 明星| 宁国市| 泗水县| 忻城县| 密云县| 会泽县| 乐陵市| 中卫市| 五大连池市| 屯门区| 垣曲县| 仪陇县| 沅江市|