- 線(xiàn)性代數(shù)(第2版)
- 王娜 馮艷 羅敏娜 富愛(ài)寧
- 1168字
- 2020-06-24 17:29:34
§1.4 行列式展開(kāi)定理
通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生應(yīng)會(huì)求余子式和代數(shù)余子式,應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值;記住行列式展開(kāi)定理及其推論,掌握應(yīng)用行列式按行(列)展開(kāi)及范德蒙德行列式計(jì)算行列式.
低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便,那么高階行列式能否利用低階行列式來(lái)表達(dá)并計(jì)算呢?在這節(jié)我們將探討這個(gè)問(wèn)題.為此,先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念.
1.4.1 余子式與代數(shù)余子式
定義 在n階行列式中,將元素aij所在的行與列上的元素劃去,其余元素按照原來(lái)的相應(yīng)位置構(gòu)成的n-1階行列式,稱(chēng)為元素aij的余子式,記作Mij.
令A(yù)ij=(-1)i+jMij,稱(chēng)Aij是aij的代數(shù)余子式.
例1 求行列式中的元素a12,a34,a44的余子式和代數(shù)余子式.
解



引理 在n階行列式D中,如果第i行的元素僅aij≠0,其余元素均為零,則D=aijAij.
1.4.2 行列式展開(kāi)定理
定理 n階行列式等于它的任意一行(列)的各個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和,即

或
證明

類(lèi)似地,可證明.
該定理稱(chēng)為行列式按行(列)展開(kāi)定理,也稱(chēng)行列式的降階展開(kāi)式.
推論 n階行列式D的任意一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0.
例2 已知,求A11+A21+A31+A41.
解法1 因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/D52BA4/17180250005296906/epubprivate/OEBPS/Images/img00025001.jpg?sign=1753804328-aA81uf7iVRf0k7UBcKgCRo6sN0ZUJ7lD-0-54919816965f2c2fc7e24edb35895b85">,
D1與D的第1列元素的代數(shù)余子式相同,所以將D1按第1列展開(kāi)可得A11+A21+A31+A41=0.
解法2 因?yàn)镈的第3列元素與D的第1列元素的代數(shù)余子式乘積之和為0,
3A11+3A21+3A31+3A41=0,
所以 A11+A21+A31+A41=0.
注意 在計(jì)算行列式時(shí)往往不急于展開(kāi)計(jì)算,通常總是根據(jù)行列式的性質(zhì)盡量把它的其中一行(列)中的更多元素變成零,然后對(duì)這一行(列)展開(kāi)再加以計(jì)算.
例3 計(jì)算.
解


例4 計(jì)算行列式.
解


例5 計(jì)算行列式.
解


例6 設(shè),
,試證:D=D1D2.
證明 對(duì)D1作運(yùn)算ri+krj可把D1化為下三角形行列式,即設(shè)amm≠0,作運(yùn)算,將D中第m列前m-1個(gè)元素全化為零,如此繼續(xù)下去就可以將其化為下三角形行列式

對(duì)D2作運(yùn)算cj+kci可把D2化為下三角形行列式,設(shè)為

于是,對(duì)D的前m行作運(yùn)算ri+krj,對(duì)D的前n行作運(yùn)算cj+kci,把D化成下三角形行列式

故 D=p11p22…pnn=D1D2.
若例6寫(xiě)成,同樣
其中A是m2個(gè)元素aij排成m行m列的矩陣,|A|=D1;B是n2個(gè)元素bij排成n行n列的矩陣|B|=D2.此結(jié)論可以作為公式用.
*例7 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

其中 表示所有因子(xi-xj)(j<i)的連乘積,詳見(jiàn)§1.1.
證明 用數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)n=2時(shí),有
即當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立.
假設(shè)對(duì)于n-1階范德蒙德行列式成立,即

要證對(duì)n階范德蒙德行列式,結(jié)論也成立.為此,設(shè)法把Dn降階;從第n行開(kāi)始,后行減去前行的x1倍,有


(上式是(n-1)階范德蒙德行列式)

計(jì)算n階行列式,有時(shí)要用到數(shù)學(xué)歸納法,歸納法的主要步驟是不能省略的
例8 計(jì)算行列式
解 將該行列式轉(zhuǎn)置,則該行列式為0階范德蒙德行列式.

習(xí)題1.4
1.設(shè)行列式,求含有元素2的代數(shù)余子式及其和.
2.設(shè)行列式,求第四行各元素余子式之和.
3.已知,試求:
(1)A12-A22+A32-A42; (2)A42+A43+A44.
4.用行列式展開(kāi)定理計(jì)算下列行列式:
(1) (2)
(3); (4)
5.證明下列等式:



6.計(jì)算下列行列式:
(1); (2)
;
(3) (4)
;
(5)(6)
.
7.求下列方程的根:


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