§1.4　行列式展開定理

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)會求余子式和代數(shù)余子式，應(yīng)用行列式的性質(zhì)計算行列式的值；記住行列式展開定理及其推論，掌握應(yīng)用行列式按行（列）展開及范德蒙德行列式計算行列式.

低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便，那么高階行列式能否利用低階行列式來表達并計算呢？在這節(jié)我們將探討這個問題.為此，先引進余子式和代數(shù)余子式的概念.

1.4.1　余子式與代數(shù)余子式

定義　在n階行列式中，將元素aij所在的行與列上的元素劃去，其余元素按照原來的相應(yīng)位置構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij.

令A(yù)ij=（-1）i+jMij，稱Aij是aij的代數(shù)余子式.

例1　求行列式中的元素a12，a34，a44的余子式和代數(shù)余子式.

解　

引理　在n階行列式D中，如果第i行的元素僅aij≠0，其余元素均為零，則D=aijAij.

1.4.2　行列式展開定理

定理　n階行列式等于它的任意一行（列）的各個元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即

或

證明　

類似地，可證明.

該定理稱為行列式按行（列）展開定理，也稱行列式的降階展開式.

推論　n階行列式D的任意一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0.

例2　已知，求A11+A21+A31+A41.

解法1　因為，

D1與D的第1列元素的代數(shù)余子式相同，所以將D1按第1列展開可得A11+A21+A31+A41=0.

解法2　因為D的第3列元素與D的第1列元素的代數(shù)余子式乘積之和為0，

3A11+3A21+3A31+3A41=0，

所以　　　　　A11+A21+A31+A41=0.

注意　在計算行列式時往往不急于展開計算，通常總是根據(jù)行列式的性質(zhì)盡量把它的其中一行（列）中的更多元素變成零，然后對這一行（列）展開再加以計算.

例3　計算.

解　

例4　計算行列式.

解　

例5　計算行列式.

解　

例6　設(shè)，

，試證：D=D1D2.

證明　對D1作運算ri+krj可把D1化為下三角形行列式，即設(shè)amm≠0，作運算，將D中第m列前m-1個元素全化為零，如此繼續(xù)下去就可以將其化為下三角形行列式

對D2作運算cj+kci可把D2化為下三角形行列式，設(shè)為

于是，對D的前m行作運算ri+krj，對D的前n行作運算cj+kci，把D化成下三角形行列式

故　　　　　D=p11p22…pnn=D1D2.

若例6寫成，同樣

其中A是m2個元素aij排成m行m列的矩陣，|A|=D1；B是n2個元素bij排成n行n列的矩陣|B|=D2.此結(jié)論可以作為公式用.

*例7　證明范德蒙德（Vandermonde）行列式

其中 表示所有因子（xi-xj）（j<i）的連乘積，詳見§1.1.

證明　用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=2時，有

即當(dāng)n=2時結(jié)論成立.

假設(shè)對于n-1階范德蒙德行列式成立，即

要證對n階范德蒙德行列式，結(jié)論也成立.為此，設(shè)法把Dn降階；從第n行開始，后行減去前行的x1倍，有

（上式是（n-1）階范德蒙德行列式）

計算n階行列式，有時要用到數(shù)學(xué)歸納法，歸納法的主要步驟是不能省略的

例8　計算行列式

解　將該行列式轉(zhuǎn)置，則該行列式為0階范德蒙德行列式.

習(xí)題1.4　

1.設(shè)行列式，求含有元素2的代數(shù)余子式及其和.

2.設(shè)行列式，求第四行各元素余子式之和.

3.已知，試求：

（1）A12-A22+A32-A42；　　（2）A42+A43+A44.

4.用行列式展開定理計算下列行列式：

（1）　　　（2）

（3）；　　（4）

5.證明下列等式：

6.計算下列行列式：

（1）；　　（2）；

（3）　　　（4）；

（5）（6）.

7.求下列方程的根：