§1.4　行列式展開(kāi)定理

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)會(huì)求余子式和代數(shù)余子式，應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值；記住行列式展開(kāi)定理及其推論，掌握應(yīng)用行列式按行（列）展開(kāi)及范德蒙德行列式計(jì)算行列式.

低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便，那么高階行列式能否利用低階行列式來(lái)表達(dá)并計(jì)算呢？在這節(jié)我們將探討這個(gè)問(wèn)題.為此，先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念.

1.4.1　余子式與代數(shù)余子式

定義　在n階行列式中，將元素aij所在的行與列上的元素劃去，其余元素按照原來(lái)的相應(yīng)位置構(gòu)成的n-1階行列式，稱(chēng)為元素aij的余子式，記作Mij.

令A(yù)ij=（-1）i+jMij，稱(chēng)Aij是aij的代數(shù)余子式.

例1　求行列式中的元素a12，a34，a44的余子式和代數(shù)余子式.

解　

引理　在n階行列式D中，如果第i行的元素僅aij≠0，其余元素均為零，則D=aijAij.

1.4.2　行列式展開(kāi)定理

定理　n階行列式等于它的任意一行（列）的各個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即

或

證明　

類(lèi)似地，可證明.

該定理稱(chēng)為行列式按行（列）展開(kāi)定理，也稱(chēng)行列式的降階展開(kāi)式.

推論　n階行列式D的任意一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0.

例2　已知，求A11+A21+A31+A41.

解法1　因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/D52BA4/17180250005296906/epubprivate/OEBPS/Images/img00025001.jpg?sign=1753804328-aA81uf7iVRf0k7UBcKgCRo6sN0ZUJ7lD-0-54919816965f2c2fc7e24edb35895b85">，

D1與D的第1列元素的代數(shù)余子式相同，所以將D1按第1列展開(kāi)可得A11+A21+A31+A41=0.

解法2　因?yàn)镈的第3列元素與D的第1列元素的代數(shù)余子式乘積之和為0，

3A11+3A21+3A31+3A41=0，

所以　　　　　A11+A21+A31+A41=0.

注意　在計(jì)算行列式時(shí)往往不急于展開(kāi)計(jì)算，通常總是根據(jù)行列式的性質(zhì)盡量把它的其中一行（列）中的更多元素變成零，然后對(duì)這一行（列）展開(kāi)再加以計(jì)算.

例3　計(jì)算.

解　

例4　計(jì)算行列式.

解　

例5　計(jì)算行列式.

解　

例6　設(shè)，

，試證：D=D1D2.

證明　對(duì)D1作運(yùn)算ri+krj可把D1化為下三角形行列式，即設(shè)amm≠0，作運(yùn)算，將D中第m列前m-1個(gè)元素全化為零，如此繼續(xù)下去就可以將其化為下三角形行列式

對(duì)D2作運(yùn)算cj+kci可把D2化為下三角形行列式，設(shè)為

于是，對(duì)D的前m行作運(yùn)算ri+krj，對(duì)D的前n行作運(yùn)算cj+kci，把D化成下三角形行列式

故　　　　　D=p11p22…pnn=D1D2.

若例6寫(xiě)成，同樣

其中A是m2個(gè)元素aij排成m行m列的矩陣，|A|=D1；B是n2個(gè)元素bij排成n行n列的矩陣|B|=D2.此結(jié)論可以作為公式用.

*例7　證明范德蒙德（Vandermonde）行列式

其中 表示所有因子（xi-xj）（j<i）的連乘積，詳見(jiàn)§1.1.

證明　用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=2時(shí)，有

即當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)對(duì)于n-1階范德蒙德行列式成立，即

要證對(duì)n階范德蒙德行列式，結(jié)論也成立.為此，設(shè)法把Dn降階；從第n行開(kāi)始，后行減去前行的x1倍，有

（上式是（n-1）階范德蒙德行列式）

計(jì)算n階行列式，有時(shí)要用到數(shù)學(xué)歸納法，歸納法的主要步驟是不能省略的

例8　計(jì)算行列式

解　將該行列式轉(zhuǎn)置，則該行列式為0階范德蒙德行列式.

習(xí)題1.4　

1.設(shè)行列式，求含有元素2的代數(shù)余子式及其和.

2.設(shè)行列式，求第四行各元素余子式之和.

3.已知，試求：

（1）A12-A22+A32-A42；　　（2）A42+A43+A44.

4.用行列式展開(kāi)定理計(jì)算下列行列式：

（1）　　　（2）

（3）；　　（4）

5.證明下列等式：

6.計(jì)算下列行列式：

（1）；　　（2）；

（3）　　　（4）；

（5）（6）.

7.求下列方程的根：