§1.3　行列式的性質

通過本節的學習，學生應掌握行列式的性質，用應用行列式的性質計算行列式的值.

當行列式的階數較高時，利用定義計算行列式相當麻煩，為了簡化行列式的計算，需要研究行列式的一些性質.

1.3.1　行列式的性質概述

性質1　將行列式的行、列互換，行列式的值不變.

如果，則DΤ=D.

其中行列式DΤ稱為D的轉置行列式.

注意　這一性質表明行列式中行與列的地位是對稱的，也就是說凡是行列式對行成立的性質，對列也是成立的.

性質2　互換行列式的兩行（列），行列式的值僅改變符號.

即.

推論1　如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零.

性質3　以數k乘行列式的某一行（列）中的所有元素，等于用k去乘以此行列式.

即

由性質3可得下面的推論：

推論2　行列式一行（列）的所有元素的公因子可以提取到行列式的外面.

推論3　如果行列式中有一行（列）的元素全為零，則此行列式值為零.

推論4　如果行列式中有兩行（列）的對應元素成比例，則此行列式值為零.

性質4　如果行列式的某一行（列）的所有元素都是兩個數的和，則此行列式等于兩行列式之和.如果

則D=D1+D2.

推論5　如果行列式的某一行（列）的所有元素都是n個數的和組成，則此行列式等于n個行列式之和.即

性質5　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式的值不變.

例如，以數k乘第i行加到第j行上，當i≠j時，有

通常用ri+krj表示第j行的k倍加到第i行后取代原來的第i行，用ci+kcj表示第j列的k倍加到第i列后取代原來的第i列.

1.3.2　利用行列式性質計算行列式

例1　計算行列式

解　

例2　計算行列式

解　

例3　計算行列式

解　

例4　解方程

解　由于

于是原方程為5（x-4）（x+5）=0，解得x1=4，x2=-5.

例5　計算n階行列式

解　把行列式的所有列乘1都加到第1列上得

=[a+（n-1）b]（a-b）n-1.

例6　計算n+1階行列式

解　這是個“箭形”行列式，為了將其變成上三角形行列式，通常可以把行列式的第2列，第3列，…，第（n+1）列都加到第1列得

習題1.3　

用行列式性質計算下列行列式：

（1）　　（2）　　（3）