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§1.5 克萊姆(Cramer)法則

通過本節的學習,學生應了解線性方程組的基本概念,會用克萊姆法則解線性方程組.

在中學代數中我們學習過二元和三元線性方程組求解的問題,本節來學習一種求解n元線性方程組的方法.首先介紹線性方程組的基本概念.

1.5.1 線性方程組的基本概念

從實際問題導出的線性方程組通常含有很多個未知量和很多個方程,它的一般形式為

其中x1,x2,…,xn是未知量,aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是未知量的系數,b1,b2,…,bm稱為常數項或方程的右端,這里m與n未必相等.

線性方程組(1)的解是指這樣的一組數k1,k2,…,kn,當用它們依次替換方程組

(1)中的未知量x1,x2,…,xn時,方程組中的每個方程都成立.

如果b1=b2=…=bm=0,則線性方程組(1)變成

線性方程組(1)稱為非齊次線性方程組,線性方程組(2)稱為(1)的對應齊次線性方程組.

顯然,x1=0,x2=0,…,xn=0是齊次線性方程組(2)的解,并稱為(2)的零解.

當m=n時,線性方程組(1)變成

稱為n階線性方程組.

在n階線性方程組(3)中,它的系數aij(i,j=1,2,…,n)組成的

稱為線性方程組(3)的系數行列式.

下面介紹一種求解n階線性方程組的方法——克萊姆(Cramer)法則.

1.5.2 克萊姆(Cramer)法則概述

定理 (克萊姆法則)如果線性方程組(3)的系數行列式D ≠0,即D =,則線性方程組(3)有唯一解D,其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數行列式D中的第j列元素對應換為常數項b1,b2,…,bn,即

例1 求解線性方程組

解 系數行列式

所以方程組有唯一解,而

由克萊姆法則得, .

當線性方程組(3)的行列式為零的時候,會出現兩種情況:一是無解;二是無窮多解.對于這種情況的詳細討論將在第3章進行.

對于n階齊次線性方程組而言,有下面兩個推論.

推論1 若齊次線性方程組的系數行列式D≠0,則方程組只有零解.

推論2 若齊次線性方程組有非零解,則系數行列式D=0

例2 判斷方程組有零解還是有非零解?

解 由于系數行列式

所以方程組只有零解.

例3 已知有非零解,求k.

解 因為方程組的系數行列式為,由推論2知,

它的系數行列式D=0,即(k+2)(k-1)2=0,故k=1或k=-2.

注意 克萊姆法則只能應用于n個未知數n個方程并且系數行列式不等于零的線性方程組.又由于需要計算n+1個n階行列式,計算量較大,在求解未知量較多的方程組時,克拉姆法則不太具有實用價值.在這一意義上來說,克拉姆法則僅具有理論上的意義.

習題1.5 

1.用克萊姆法則解下列方程組:

(1);  (2).

2.λ取何值時,下列齊次線性方程組有非零解?

(1) ?。?)

3.k取什么值時,齊次線性方程組僅有零解?

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