§1.5　克萊姆（Cramer）法則

通過本節的學習，學生應了解線性方程組的基本概念，會用克萊姆法則解線性方程組.

在中學代數中我們學習過二元和三元線性方程組求解的問題，本節來學習一種求解n元線性方程組的方法.首先介紹線性方程組的基本概念.

1.5.1　線性方程組的基本概念

從實際問題導出的線性方程組通常含有很多個未知量和很多個方程，它的一般形式為

其中x1，x2，…，xn是未知量，aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）是未知量的系數，b1，b2，…，bm稱為常數項或方程的右端，這里m與n未必相等.

線性方程組（1）的解是指這樣的一組數k1，k2，…，kn，當用它們依次替換方程組

（1）中的未知量x1，x2，…，xn時，方程組中的每個方程都成立.

如果b1=b2=…=bm=0，則線性方程組（1）變成

線性方程組（1）稱為非齊次線性方程組，線性方程組（2）稱為（1）的對應齊次線性方程組.

顯然，x1=0，x2=0，…，xn=0是齊次線性方程組（2）的解，并稱為（2）的零解.

當m=n時，線性方程組（1）變成

稱為n階線性方程組.

在n階線性方程組（3）中，它的系數aij（i，j=1，2，…，n）組成的

稱為線性方程組（3）的系數行列式.

下面介紹一種求解n階線性方程組的方法——克萊姆（Cramer）法則.

1.5.2　克萊姆（Cramer）法則概述

定理　（克萊姆法則）如果線性方程組（3）的系數行列式D ≠0，即D =，則線性方程組（3）有唯一解D，其中Dj（j=1，2，…，n）是把系數行列式D中的第j列元素對應換為常數項b1，b2，…，bn，即

例1　求解線性方程組

解　系數行列式

所以方程組有唯一解，而

由克萊姆法則得， .

當線性方程組（3）的行列式為零的時候，會出現兩種情況：一是無解；二是無窮多解.對于這種情況的詳細討論將在第3章進行.

對于n階齊次線性方程組而言，有下面兩個推論.

推論1　若齊次線性方程組的系數行列式D≠0，則方程組只有零解.

推論2　若齊次線性方程組有非零解，則系數行列式D=0

例2　判斷方程組有零解還是有非零解？

解　由于系數行列式

所以方程組只有零解.

例3　已知有非零解，求k.

解　因為方程組的系數行列式為，由推論2知，

它的系數行列式D=0，即（k+2）（k-1）2=0，故k=1或k=-2.

注意　克萊姆法則只能應用于n個未知數n個方程并且系數行列式不等于零的線性方程組.又由于需要計算n+1個n階行列式，計算量較大，在求解未知量較多的方程組時，克拉姆法則不太具有實用價值.在這一意義上來說，克拉姆法則僅具有理論上的意義.

習題1.5　

1.用克萊姆法則解下列方程組：

（1）；　　（2）.

2.λ取何值時，下列齊次線性方程組有非零解？

（1）　　（2）

3.k取什么值時，齊次線性方程組僅有零解？