第40節(jié)　等級(jí)形式：類和關(guān)系

我們已經(jīng)看到，構(gòu)造一個(gè)對(duì)象必須采取一種定義的形式。這種構(gòu)造定義或者是顯定義或者是用法定義。如果是顯定義，則被構(gòu)造的對(duì)象與先前的某些對(duì)象是領(lǐng)域同源的，不會(huì)由此而達(dá)到一個(gè)新的“構(gòu)造等級(jí)”。因此進(jìn)到一個(gè)新的構(gòu)造等級(jí)總是通過(guò)一種用法定義才達(dá)到的。我們通過(guò)每個(gè)用法定義指出，借助于一個(gè)新符號(hào)來(lái)描述的命題函項(xiàng)與僅以舊的符號(hào)來(lái)描述的命題函項(xiàng)具有相同的意謂。所謂“相同的意謂”是指這兩個(gè)命題函項(xiàng)由同一些對(duì)象所滿足。因?yàn)榕c另一命題函項(xiàng)外延相同的命題函項(xiàng)可由與前者相同的一些對(duì)象所滿足，所以在用法定義中我們可用任一與前一命題函項(xiàng)外延相同的命題函項(xiàng)來(lái)替換它。因此，借助于新符號(hào)來(lái)表達(dá)的命題函項(xiàng)不能歸入某一個(gè)別的先前已有的命題函項(xiàng)，而是同時(shí)歸屬于所有這些彼此外延相同的命題函項(xiàng)，換言之，它歸屬于這些命題函項(xiàng)的外延。因此，我們也可以純粹外延地理解新的命題函項(xiàng)：我們把新符號(hào)作為外延符號(hào)引進(jìn)來(lái)。通過(guò)導(dǎo)致一個(gè)新的構(gòu)造等級(jí)的構(gòu)造定義，我們就可根據(jù)間接定義的命題函項(xiàng)僅有一個(gè)或多個(gè)主目位置給類或關(guān)系下定義。類和關(guān)系因而就是構(gòu)造的等級(jí)形式。我們可以算術(shù)中的例子解釋這兩種形式。

例子：I.類。在邏輯斯蒂中我們把基數(shù)（或冪）定義為等項(xiàng)的類（或“集合”）的類；如果兩個(gè)類是一一對(duì)應(yīng)的，它們就被稱為等項(xiàng)的類。例如，凡是包含5個(gè)分子的類都是等項(xiàng)的類；以所有這些類為其分子的更高一等級(jí)的類則被稱為“基數(shù)5”。根據(jù)這個(gè)定義而構(gòu)造出算術(shù)就表明這個(gè)定義在形式上是無(wú)可指摘的和充分的，因?yàn)樗刮覀兛梢酝茖?dǎo)出基數(shù)的一切算術(shù)性質(zhì)而不陷入矛盾。盡管如此，人們還是一再地對(duì)這個(gè)定義提出了駁難，不是從邏輯上而從直觀易解的理由提出駁難。例如，世界上所有由五個(gè)分子組成的類所歸屬的類似乎是無(wú)窮之多、包含萬(wàn)有的，因而將其等同于基數(shù)5這個(gè)勾畫分明的算術(shù)的創(chuàng)造物似乎是荒謬的。但是這個(gè)假象只是由于在想象中用相應(yīng)的整體來(lái)替換類而造成的，如我們?cè)谇懊嬉延懻撨^(guò)的（參閱第37節(jié)）；這種替換常常是方便有用的，但在這里卻把人引入歧途。我們?cè)倩氐缴厦孢@個(gè)例子：我的右手的手指的類并不是“我的右手”這個(gè)整體，所有由5個(gè)分子組成的類的類并不是由所有的手、腳、5塊石頭堆成的石堆等等構(gòu)成的。這個(gè)無(wú)窮多的聚合作為一種算術(shù)的創(chuàng)造物當(dāng)然是無(wú)用的。但是，我們不能說(shuō)我的右手的手指的類是什么，因?yàn)檫@個(gè)類只是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)象，亦即一個(gè)獨(dú)立的復(fù)合；被引進(jìn)來(lái)代表它的符號(hào)本身沒有任何意謂，而只是用以作出關(guān)于我右手手指的命題而無(wú)須逐一點(diǎn)數(shù)這5個(gè)對(duì)象，亦即關(guān)于這5個(gè)手指所共有的形狀、顏色、質(zhì)料等特性的命題。同樣，我們也不可能說(shuō)由5個(gè)分子組成的類的類本身（亦即其分子可與我右手手指的類的分子一一對(duì)應(yīng)的那些類的類）是什么。它也只是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)象，即一個(gè)獨(dú)立的復(fù)合；如果我用一個(gè)符號(hào)代表它（例如kl₅），那么這個(gè)符號(hào)并不指稱任何真正的對(duì)象，而只是用以做出關(guān)于這個(gè)類的分子即所有由5個(gè)分子組成的類的命題，而無(wú)須逐一點(diǎn)數(shù)由于無(wú)窮之多實(shí)際也無(wú)法點(diǎn)數(shù)的這些類。這樣，如果kl₅是一個(gè)可使我們做出關(guān)于所有由5個(gè)分子組成的類所共有的屬性的命題的符號(hào)，那么把它和算術(shù)符號(hào)“5”（代表基數(shù)）區(qū)別開來(lái)的又是什么呢？基數(shù)5像類kl₅一樣也是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)象，5這個(gè)符號(hào)也不指稱任何真正的對(duì)象，而只是用以作出關(guān)于所有可能由5個(gè)分子組成的類所共有的一切屬性的命題。由此我們看到，上述基數(shù)定義并不像人們以為的那樣是以另外一個(gè)按一定程式構(gòu)造出來(lái)而與基數(shù)有某種形式上的類似的東西替換基數(shù)，而是這個(gè)定義恰好適合于算術(shù)概念；只是由于那種從未道出卻經(jīng)常潛在的以類為整體的錯(cuò)誤觀點(diǎn)才把這個(gè)事實(shí)弄模糊了。

參考文獻(xiàn)　上述關(guān)于基數(shù)的定義最早是由弗雷格提出來(lái)的（《算術(shù)基礎(chǔ)》，第79頁(yè)以下；《算術(shù)基本法則》，第1卷，第57頁(yè)）。羅素在1901年獨(dú)立地重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定義并應(yīng)用于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（《數(shù)學(xué)的原理》，第114頁(yè)，《我們關(guān)于外間世界的知識(shí)》，第199頁(yè)以下，《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》，第11頁(yè)，《數(shù)學(xué)原理》，第1卷）。

對(duì)這個(gè)定義提出前述那類駁難的有豪斯多爾夫（《集合論原理》，第2版，柏林和萊比錫，1927年，第46頁(yè)），J·柯尼希（《邏輯、算術(shù)和集合論的新基礎(chǔ)》，萊比錫，1914年，第226頁(yè)注），參閱弗蘭克爾：《集合論導(dǎo)論》（柏林，1928年，第3版第44頁(yè)）。早期的羅素盡管提出了“無(wú)類論”，但在他盡可能要同語(yǔ)言的使用保持一致時(shí)至少?zèng)]有十分明確地拒絕把類視為整體的觀點(diǎn)（《數(shù)學(xué)原理》，《我們關(guān)于外間世界的知識(shí)》，第126頁(yè)）；現(xiàn)在他已堅(jiān)決地強(qiáng)調(diào)類和“堆或堆積”（用我們的話說(shuō)即整體或聚合）的區(qū)別（《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》，第184頁(yè)），不過(guò)他認(rèn)為，僅僅為了用這個(gè)基數(shù)定義得到一個(gè)確定而不含糊的概念，他不得不承受這個(gè)定義帶有的一點(diǎn)奇特之處（《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》，第18頁(yè)）。我們的觀點(diǎn)和韋爾的觀點(diǎn)（“數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)”）是一致的。

例子：2．關(guān)系。前面已經(jīng)看到，分?jǐn)?shù)可還原為自然數(shù)，因而應(yīng)被視為自然數(shù)的復(fù)合。而且分?jǐn)?shù)是獨(dú)立的復(fù)合，即準(zhǔn)對(duì)象，因?yàn)樗鼈兛杀欢x為自然數(shù)間的關(guān)系。例如，“2/3=（x和y是自然數(shù)，其關(guān)系為3x=2y）”。