第39節　用法定義

對一個對象如不能下一顯定義，那么其對象名字就不能獨立地指稱像先前的對象那樣的任何東西；在這種情況下，我們就必須處理一個與這些先前的對象有關的準對象。但是，如果我們要把這個對象說成是“在先前那些對象的基礎上構造出來的”，那么我們就一定能將它的命題轉換為其中只有先前那些對象出現的命題，盡管我們并不能給定一個由先前對象的符號組合成的符號來代表它。因此我們必須有一種翻譯規則，這種規則為包含這個準對象的語句形式的轉換程序作了一般的規定。與顯定義相對，我們把這樣引進一個新的符號稱為“用法定義”（Definition in use），因為它對這個并不具有任何獨立意義的新符號本身不作任何解釋，而僅說明它在整個語句中的使用。

參考文獻　參閱羅素和懷特海：《數學原理》，第1卷，25，69。“隱定義”一詞常用于通過公理系統來界定對象的另外一種完全不同的定義方法，我們可以繼續用之于這個目的（參閱第15節）。有時，例如當問題涉及與隱定義相對比時，我們則在其廣義上把“顯定義”既理解為狹義的顯定義，亦指用法定義。

為使翻譯規則可用之于具備一定語句形式的一切現有語句，必須把它與命題函項聯系起來。它必須將兩個命題函項的符號互相對照，其中一個含有新的對象名字，另一個則僅包含先前已有的對象名字，而且在兩者中都必須出現相同的變項；于是后一個命題函項就被表明為前一個命題函項的翻譯了。略作思考就可以看到我們必須選擇這種形式。如果包含新符號的表達式不包含任何變項，就是說，它不是一個命題函項的表達式，而只是一個命題的表達式，亦即只是一個語句，那么這個翻譯規則就會是只適用于這個語句而不能用之于各種不同的語句了。如果這個表達式包含變項，那么由這個規則所規定的翻譯就必然包含相同的變項，因為不然的話它不可能指明，在應用于某個要加以翻譯的語句時，在其中居于主目位置的那個對象名字如何被轉移到這個翻譯里去。

例子：我們假定顯定義的形式或許已為人們所熟悉；但是重要的是弄清楚它和用法定義的區別。如果已知數1和加法演算+，那么其他的數就可以明顯地加以定義：“2=Df1+1”，“3=Df2+1”，等等（“=Df”讀作：“根據定義意為”或“恒可代之以”）。

用法定義。假定已知自然數和乘法的概念。現在要引進素數的概念。我們不可能像先前定義符號“2”和“3”那樣給“素數”一詞下一個顯定義。表面看來我們似乎可以下述形式來定義它：“素數=Df那些……的數”或“一個素數=Df一個……的數”。不過這種形式的定義只是看上去像一個顯定義，這個假象的發生是由于那種賦予諸如“素數”或“一個素數”之類的符號以對象符號的外觀的語言表達式，因為這種語言表達式把這些語詞用作語句的主詞。像“那些……的數”或“一個……的數”這樣的表達式已經是用法定義的（很適當的）縮寫了。它們與邏輯斯蒂的類符號是一致的。與數1、2、3……相比，素數概念不是一個真正的對象。因此我們只能通過指出一個具有“a是一個素數”這種形式的語句（a在那里是一個數）應有何意謂而給素數概念以應用定義。我們必須以下述方式來指明這種意謂，即給出一個與命題函項“x是一個素數”意謂相同的命題函項，這個命題函項只包含已知的符號，因而可用作具有“n是一個素數”這種形式的語句的翻譯規則。我們或許可以這樣來定義素數：“x是一個素數”=Df“x是一個自然數；x只以1和x為除數”。