2.3　初 等 函 數

把一元實初等函數的有關定義推廣到復變數情形便得到本節中一些常用的復初等函數.

2.3.1　指數函數

由上節例2.2.1可知，函數f（z）=ex（cosy+isiny）在復平面內解析，且f'（z）=f（z）.容易驗證f（z1+z2）=f（z1）·f（z2）成立.因此規定：具備以上特征的函數為復變指數函數.

定義2.3.1　對任意的復數z=x+iy，規定函數w=ex（cosy+isiny）為復數z的指數函數（Exponential function），記作

w=ez=ex（cosy+isiny）或exp（z）=ex（cosy+isiny）.　　　（2.3.1）

顯然有|ez|=ex，Arg（ez）=y+2kπ　（k為整數）.

從而，ez≠0.當Re（z）=x=0，即z=iy時，式（2.3.1）變為歐拉公式

eiy=（cosy+isiny）.　　　（2.3.2）

當Im（z）=y=0，即z=x時，式（2.3.1）變為ez=ex，所以復指數函數是實指數函數的推廣.

由定義2.3.1容易驗證指數函數ez具有下列性質：

①對任意整數k，都有

ez=ez+2kπi，

即ez是以2πi為基本周期的周期函數.

②對任意復數z1=x1+iy1，z2=x2+iy2有

但一般不成立，如

③w=ez在整個復平面內解析，且 

2.3.2　對數函數

同一元實函數一樣，把指數函數的反函數稱為對數函數.即稱滿足方程

ew=z?。?span id="wwqxkig" class="italic">z≠0）.　　　（2.3.3）

的w為復數z的對數（Logarithm）函數，記作

        w=Lnz.　　　（2.3.4）

為導出其計算公式，設w=u+iv，z=|z|eiarg（z），代入式（2.3.3）得

        eu+iv=|z|eiarg（z），

比較等式兩端得實數

u=ln|z|，v=arg（z）+2kπ，

即復數z的對數的所有值為

Lnz=ln|z|+iarg（z）+2kπi.　　?。?.3.5）

其中k=0，±1，±2，….由此可見，w=Lnz的定義域為z≠0，并且作為周期函數的反函數是多值的.在式（2.3.5）中分別取k=0，1，-1，…，可得它的不同的單值分支，且每兩個單值分支都相差2πi的整數倍.通常只討論其k=0的單值分支，稱為Lnz的主值，即復數z（z≠0）的主值對數，記作lnz.即

lnz=ln|z|+iarg（z）.　　　（2.3.6）

從而有

        Lnz=lnz+2kπi　（k取整數）.

式（2.3.6）中ln|z|為正實數的對數，當z=x>0時，arg（z）=0，于是有lnz=lnx，所以主值對數是正實數對數在復數域內的推廣.

就主值lnz而言，由于ln|z|在原點不連續，而arg（z）在原點及負實軸上都是不連續的，所以lnz在除去原點及負實軸的復平面內連續而且單值，由反函數的求導法則得

所以lnz在除去原點及負實軸的復平面內解析.

對于其他各分支，記（Lnz）k=lnz+2kπi?。?span id="23dwece" class="italic">k為任意給定的整數），稱為Lnz的第k個分支.顯然它在除去原點及負實軸的復平面內連續、解析.同樣有

另外，由式（2.3.5）和幅角的相應性質可以證明復變數對數函數仍具有下列性質：

Ln（z1z2）=Lnz1+Lnz2，

Ln（z1/z2）=Lnz1-Lnz2.

注意　上述等式兩邊都是無窮多個復數值的集合，其等號成立是指兩邊的集合相等，即右邊Lnz1的每一個值加上（減去）Lnz2的任意一個值都等于左邊的某個適當分支，因此對主值對數而言，上述等式卻未必成立.而且等式一般也不成立.

【例2.3.1】　求Ln2， Ln（-i）及它們相應的主值.

解　因為　Ln2=ln2+2kπi，所以其主值為ln2.

Ln（-i）=ln1+iArg（-i）=，其中k為整數，所以它的主值為

2.3.3　冪函數

對于任意復數α及復變量z≠0，定義冪函數w=zα為

zα=eαLnz=eα［ln|z|+iarg（z）+2kπi］?。?span id="ufgory2" class="italic">k為整數）.　　?。?.3.7）

在α為正實數情形，補充規定：當z=0時，有zα=0.

由于Lnz的多值性，所以一般來說，zα是多值函數，但隨著α的取值不同分為以下幾種情形：

①當α=n（n為正整數）時，zα=zn是單值函數.

②當α=-n（n為正整數）時，也是單值函數.

③當（n為正整數）時，就是根式函數，且

它只在k=0，1，…，n-1取不同的值，是具有n個分支的多值函數.

④當（m和n為互質的整數，n>0）時，，

也在k=0，1，…，n-1取不同的值，是具有n個分支的多值函數.

⑤當α為無理數或虛數時，zα有無窮多個值，且

zα=|z|αeiα［arg（z）+2kπ］?。?span id="9bdc9q9" class="italic">z≠0，k為整數）.

另外，由于Lnz的各個分支在除去原點及負實軸的復平面內解析，因而zα的各個分支也在該域內解析，且

【例2.3.2】　求的值.

解　

方框居左$$

由此可見，ii的值全為正實數，它的主值是

2.3.4　三角函數和雙曲函數

復變量的三角函數是將歐拉公式推廣到任意復數的情形給出的.即對任意復數z，有

eiz=cosz+isinz，　e-iz=cosz-isinz，

兩式相減、相加分別得到

　　?。?.3.8）

稱它們分別是z的正弦函數和余弦函數.

這樣定義的三角函數具有下列性質：

①由于ez是以2πi為基本周期的周期函數，所以由定義不難推得，正弦函數和余弦函數都是以2π為周期的周期函數，即

sin（z+2π）=sinz，cos（z+2π）=cosz，

并且易見sinz是奇函數，cosz是偶函數，即sin（-z）=-sinz，cos（-z）=cosz.

②令sinz=0，即eiz=e-iz或e2iz=1，由z=x+iy有

e-2y·e2ix=1=e2nπi，

故

e-2y=1， 2x=2nπ.

即

y=0，x=nπ?。?span id="zlfkigy" class="italic">n=0，±1，±2，…）.

所以sinz的零點是z=nπ.同理可得cosz的零點是π （n=0，±1，±2，…）.

③sinz和cosz在整個復平面內解析，且（sinz）'=cosz，（cosz）'=-sinz.

④用sinz和cosz的定義可以直接驗證實變三角函數的三角公式仍然成立.如

⑤在復數域內不能斷言|sinz|≤1和|cosz|≤1.如，.可見，當y充分大時，cosiy可充分大.這一性質與實變三角函數是截然不同的.

【例2.3.3】　求sin（2i）的值.

解　

其他的三角函數可類似定義如下：

其代數性質及解析性讀者可自己推證.

雙曲函數的定義與一元實函數情形相同，即其雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切和雙曲余切分別定義為

顯然它們是實變量雙曲函數的推廣，且具有下列重要性質.

①shz，chz都是以2πi為周期的周期函數，shz是奇函數，chz是偶函數.

②shz，chz在整個復平面內解析且

（shz）'=chz，（chz）'=shz.

③三角函數與雙曲函數有如下關系：

sh（iz）=isinz，　sin（iz）=ishz；

ch（iz）=cosz，　cos（iz）=chz；

ch2z-sh2z=1

2.3.5　反三角函數與反雙曲函數

反三角函數定義為三角函數的反函數.

設z=sinw，則稱w為z的反正弦函數，記為

w=Arcsinz，

由        

得        

（eiw）2-2izeiw-1=0.

解之，得        

于是有

由于根式函數、對數函數都是多值函數，所以它也是一個多值函數，并且在整個復平面內都有定義.

類似地可以定義反余弦函數和反正切函數，并得出它們的表達式

這三個反三角函數在相應地取得單值連續分支后，根據反函數的求導公式，可得

雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數，用推導反三角函數表達式完全類似的方法可得各反雙曲函數的表達式.

反雙曲正弦　

反雙曲余弦　　

反雙曲正切　　

它們都是多值函數.