2.2　函數解析的充要條件

由于解析函數是復變函數研究的主要對象，所以如何判別一個函數是否解析是十分必要的，但如果只根據定義判斷函數的解析性往往是困難的. 因此，需要尋找判定函數解析的簡便方法.

設函數w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析，從而它在D內任一點z=x+iy可導.由式（2.1.4）可知：對充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有

Δw=f（z+Δz）-f（z）=f'（z）Δz+ρ（Δz）Δz，

其中

令

f'（z）=a+ib，　Δz=Δx+iΔy，　Δw=Δu+iΔv，　ρ（Δz）=ρ1+iρ2，

則

由兩個復數相等的條件知

　　　

（2.2.1）

又當Δz→0時，ρ（Δz）→0等價于Δx→0，Δy→0時，ρ1→0，ρ2→0，即ρ1Δx-ρ2Δy和ρ2Δx+ρ1Δy是比更高階的無窮小.

由二元實函數微分的定義知，等式組（2.2.1）等價于函數u（x，y）和v（x，y）在點（x，y）可微，且在該點處有

這便是函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的必要條件.

方程        

　　　（2.2.2）

稱為柯西-黎曼（Cauch-Riemann）方程（簡稱C-R方程）.

事實上，這個條件也是充分的，于是有.

定理2.2.1　復變函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析的充要條件是二元實函數u（x，y）和v（x，y）在D內任一點z=x+iy可微且滿足柯西-黎曼方程

證　必要性上面已經證明，下證充分性.

由u（x，y）和v（x，y）在D內任一點z=x+iy可微，可知

這里

因此

根據柯西-黎曼方程

有

或

因為，故當Δz趨于零時，上式右端最后兩項都趨于零.

于是

即f（z）在D內任一點可導，因而它在D內解析.

由上述證明過程可以看出：

①f（z）在D內任一點z=x+iy處的導數

　　　（2.2.3）

②函數f（z）在D內某一點z0=x0+iy0處可導的充要條件是u（x，y），v（x，y）在點z0=x0+iy0可微且滿足柯西-黎曼方程.

由此可見，上述定理不僅提供了判斷函數f（z）在區域內是否解析（或在某一點是否可導）的常用方法，而且給出了一個簡捷的導數公式（2.2.3）.

【例2.2.1】　試證f（z）=ex（cosy+isiny）在復平面內解析，且f'（z）=f（z）.

證　因為u（x，y）=excosy，v（x，y）=exsiny，

顯然四個一階偏導數在復平面內處處連續，從而u（x，y）和v（x，y）處處可微且滿足柯西-黎曼方程，所以f（z）在復平面內解析，并且

該函數的特點是它在整個復平面內解析且其導數等于它自身.事實上，這一函數就是下節將要介紹的復變函數中的指數函數.

【例2.2.2】　判別函數f（z）=x3-i（y3-3y）在哪些點可導，在哪些點解析.

解　因為u（x，y）=x3 ，　v（x，y）=-y3+3y，

顯然四個一階偏導數在復平面內處處連續，從而u（x，y）和v（x，y）處處可微，但柯西-黎曼方程僅在x2+y2=1上成立，所以f（z）僅在圓周x2+y2=1上可導，從而f（z）在整個復平面上處處不解析.

【例2.2.3】　試證明函數f（z）=zRe（z）僅在點z=0可導，并求f'（0）.

證　因為f（z）=（x+iy）x=x2+ixy，即

u（x，y）=x2 ，　v（x，y）=xy，

顯然u（x，y）和v（x，y）在復平面上處處可微，但柯西-黎曼方程僅在z=0處成立，所以f（z）=zRe（z）僅在點z=0可導.且有

f'（0）=ux（0，0）+ivx（0，0）=0.

事實上，該題的結論也可用導數的定義求證，留給讀者練習.

【例2.2.4】　設函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析且處處有f'（z）=0，試證明f（z）在D內為復常數.

證　由f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析有，在區域D內任一點z=x+iy處

ux=vy，uy=-vx且f'（z）=ux+ivx=vy-iuy=0，

于是，在D內恒有ux=uy=0，vx=vy=0，即u（x，y）和v（x，y）在D內均為常數，故f（z）在D內為復常數.