2.4　解析函數的應用

2.4.1　平面向量場

本小節我們討論平行于一個平面的定常向量場.這就是說：第一，這個向量場中的向量是與時間無關的；第二，這個向量場中的向量都平行于某一個平面S0，并且在垂直于S0的任何一條直線上所有的點處，這個場中的向量（就大小與方向來說）都是相等的.顯然，在所有的平行于S0的平面內，這個向量場的情形都完全一樣.因此，這個向量場可以由位于平面S0內的向量所構成的一個平面向量場完全表示出來.

我們把平面S0取作z平面，于是向量場中每個向量便可以用復數來表示.這樣可以用解析函數來研究平面向量場的問題.

由于解析函數的發展是與流體力學密切聯系的，因此，在下面介紹平面向量場與解析函數的關系時，我們采用流體力學中的術語.盡管所講述的內容，都是可以關系著各種不同物理特性的向量場.

假設流體是質量均勻的，并且具有不可壓縮性，也就是說密度不因流體所處的位置以及受到的壓力而改變.我們就假設其密度為1.流體的形式是定常（即與時間無關）的平面流動.所謂平面流動是指流體在垂直于某一固定平面的直線上各點均有相同的流動情況（圖2.4.1）.流體層的厚度可以不考慮，或者認為是一個單位長.

1.流量與環量

設流體在z平面上某一區域D內流動，v（z）=p+iq是在點z∈D處的流速，其中p=p（x，y），q=q（x，y）分別是v（z）的水平及垂直分速，并且假設它們都是連續的.

下面考查流體在單位時間內流過以A為起點，B為終點的有向曲線γ（圖2.4.2）一側的流量（實際是流體層的質量）.為此取弧元ds，n為其單位法向量，它指向曲線γ的右邊（順著A到B的方向看）.顯然，在單位時間內流過ds的流量為vnds（vn是v在n上的投影），再乘上流體層的厚度以及流體的密度（取厚度為一個單位長，密度為1）.因此，這個流量的值就是

vnds

這里ds為切向量dz=dx+idy之長.當v與n夾角為銳角時，流量vnds為正；夾角為鈍角時為負.

令

是順正向的單位切向量.故恰好可由旋轉得到，即

于是得在上的投影為

用Nγ表示單位時間內流過的流量，則

　　　（2.4.1）

在流體力學中，還有一個重要的概念，即流速的環量.它定義為：流速在曲線γ上的切線分速沿著該曲線的積分，用Γγ表示.于是

　　　（2.4.2）

現在我們可以借助于復積分來表示環量和流量.為此，我們用i乘Nγ，再與Γγ相加即得環流量

即

我們稱為復速度.

2.無源、無漏的無旋運動

假設p=p（x，y），q=q（x，y）在區域D內連續且具有連續偏導數，γ是D內的任意一條正向簡單閉曲線且它所圍的閉域為G，則由式（2.4.1）、式（2.4.2）和格林公式有

　　　（2.4.3）

　　　（2.4.4）

流體流動，如果對D內任意一條正向簡單閉曲線γ來說，流體不向外流出，則稱為在D內無源；如果流體不向內流入，則稱為在D內無漏洞.

如果既無源又無漏洞，這時對D內任意一條正向簡單閉曲線來說，流量為零.由式（2.4.3）知：

流體在D內無源、無漏洞的充要條件是，在D內，p和q滿足條件

流體流動，如果對D內任意一條正向簡單閉曲線γ來說，環量為零，則稱為在D內無旋渦.

由式（2.4.4）知：

在D內無旋渦的充要條件是，在D內，p和q滿足條件

在流體力學中，對于無旋流動的研究是很重要的.由上可知：

流體在D內作無源、無漏的無旋運動的充要條件是，其中γ是D內任意一條正向簡單閉曲線.

由定理2.2.1知無源、無漏的無旋流動特征是在該流動區域D內解析.

3.復勢

設在區域D內有一無源、無漏的無旋流動，從以上的討論，即知其對應的復速度為解析函數.如果函數f（z）在區域D內滿足，我們稱f（z）為對應此流動的復勢.

對于無源、無漏的無旋流動，復勢總是存在的；如果略去常數不計，它還是唯一的.這是因為是解析函數，由下式確定的

（請參閱3.3柯西積分定理一節內容）

就是復勢，其中z、z0屬于D.當D為單連通時，f（z）為單值解析函數.當D為多連通時，f（z）可能為多值解析函數.但它在D內任何一個單連通子區域均能分出單值解析分支.

設f（z）=φ（x，y）+iψ（x，y）為某一流動的復勢.我們稱φ（x，y）為所述流動的勢函數，稱φ（x，y）=k（k為實常數）為勢線；稱ψ（x，y）為所述流動的流函數，稱ψ（x，y）=k（k為實常數）為流線.

因為

所以

p=φx=ψy，q=-ψx=φy.　（C-R條件）

又因流線上的點z（x，y）的速度方向與該點的切線方向一致，即流線的微分方程為

即

ψxdx+ψydy=0.

而ψ（x，y）為調和函數，我們有ψyx=ψxy，于是　dψ（x，y）=0，所以ψ（x，y）=k就是流線方程的積分曲線.

流線與勢線在流速不為零的點處互相正交.

我們用復勢刻畫流動比用復速度方便.因為由復勢求復速度只用到求導數，反之則要用積分.另外，由復勢容易求流線和勢線，這樣就可以了解流動的概況.

【例2.4.1】　考察復勢為f（z）=az的流動情況.

解　設a>0，則勢函數和流函數分別為：

φ（x，y）=ax，ψ（x，y）=ay，

故勢線是x=C1；流線是y=C2（C1，C2均為實常數）.這種流動稱為均勻常流（圖2.4.3）.

當a為復數時，情況相仿，勢線和流線也是直線，只是方向有了改變.這時的速度為

【例2.4.2】　設復勢為f（z）=z2，試確定其流線、勢線和速度.

解　勢函數和流函數分別為

φ（x，y）=x2-y2，　ψ（x，y）=2xy，

故流線與勢線是互相正交的兩族等軸雙曲線（圖2.4.4）.

在點z處的速度

2.4.2　解析函數在車流計算中的應用

當代城鄉的交通問題十分突出，在一條漫長的高速公路或城市的主干道上，各種疾行的車輛宛如管子內急流的液體.研究單向車流的速度和數量，對于減少事故、控制污染等有著十分重要的意義.

首先，把單向車流v=P（x，y）+iQ（x，y）看作是一個不可壓縮的、定常的理想流體流速場，易知它是一個無源場和無旋場，則其散度和旋度分別等于零，亦即

　　　（2.4.5）

　　　（2.4.6）

由式（2.4.5）知：-Qdx+Pdy是某一個二元函數Ψ（x，y）的全微分，即

　　　（2.4.7）

由式（2.4.6）知：Pdx+Qdy是某一個二元函數Φ（x，y）的全微分，即

　　　（2.4.8）

由式（2.4.7）和式（2.4.8）得

滿足柯西-黎曼（Cauch-Riemann）條件，故函數w=f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）為一解析函數，這個解析函數就是平面流速場的復勢函數，其中，Ψ（x，y）稱為流函數，Φ（x，y）稱勢函數.車流速度為

　　　（2.4.9）

現在轉入計算單向車流這一實際問題.首先將其數學化.假定有一條寬10m左右、長度無限且無岔道、無超車現象的公路，選擇路上某點為坐標原點，需要研究的位置為流動點（x，y）車流方向為x軸的正向.設在任意時刻t，根據單位時間內通過點（x，y）的車輛數和因堵塞而在點（x，y）附近單位長的公路上單流方向停留的車輛數建立流函數Ψ（x，y）和密度函數ρ（x，y），并計算其勢函數

　　　（2.4.10）

作解析函數f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y），用式（2.4.9）求復值速度函數

再引入靈敏系數λ［因司機的動作反應時間差造成的加速度的改變，與點（x，y）處前后二車的距離成反比］，λ可按下式計算：

其中，q為流量；ρ為車輛密度；ρm為堵塞時的車輛密度.

按上述方法計算得車流速度，即公路上任一點（x，y）處在任意時刻t的任一輛車的速度為

用解析函數計算車流問題，比1983年以來通常采用的微分方程計算的方法更符合實際，更簡便易行.因為在過去的計算方法中假設車流是一條直線，事實上，車流并非一條直線，而用微分方程計算，卻局限在一維空間里，并不能準確地反映車流的實際情況.如應用解析函數的方法，將車流速度擺在平面流速場中計算，其科學性、實用性都較強.

2.4.3　解析函數在平面靜電場中的應用

平面靜電場的電勢在無源區域滿足二維的拉普拉斯方程，且它的等勢線族與電場線族是處處正交.而解析函數的實部和虛部都是調和函數，且其梯度向量相互正交.正是由于解析函數的這一性質，它常用來描述一無源區域的平面靜電場，并稱此解析函數為該電場的復勢.通過計算平面靜電場的復勢，可以得到該電場的等勢線族及電場線族方程，從而使得解析函數理論在平面靜電場中有重要的應用.

圓柱面的截面圖

1.計算無限長均勻帶電圓柱面的電場線方程及等勢線方程

設有一無限長均勻帶電圓柱面，其電荷線密度為ρ，圓柱的半徑為r0，置于真空中，由于該帶電體的對稱性，只需考慮與此帶電圓柱面垂直的復平面上的情況.該電場是平面靜電場，可以用復勢來描述.將復平面的坐標原點取在帶電圓柱面的中心軸線上，如圖2.4.5所示，在復平面上任一z=reiθ點，電場強度的大小為

　　　（2.4.11）

如果用復數表示，則有如下結論，當r>r0時，

　　　（2.4.12）

當r<r0時，

E（z）=0　　　（2.4.13）

根據電場強度與電勢的關系E=-Δv（x，y），即

　　　（2.4.14）

其中，Ex，Ey分別是電場強度E在x和y方向上的分量，v（x，y）為平面靜電場的勢函數.

設解析函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）為該平面靜電場的復勢，u（x，y）和v（x，y）分別為電場線函數和勢函數，根據復變函數導數的定義、柯西-黎曼條件及式（2.4.14）有

即

則當r<r0時對應的復勢為f（z）=c1+ic2.　　　（2.4.15）

其中，c1，c2為實常數，由于該范圍內電場強度為零，而電場線的疏密程度反映了電場強度的大小，因而必有c1=0，c2其大小與電勢零點的選擇有關.

該電場的電場線函數族和等勢線函數族分別為

u（r，θ）=0，　v（r，θ）=c2.　　　（2.4.16）

則當r>r0時，該靜電場的復勢為

　　　（2.4.17）

其中，c3，c4為實常數.

該電場的電場線函數族和等勢線函數族分別為

　　　（2.4.18）

　　　（2.4.19）

由式（2.4.16）可知，r<r0時，電場線族為u（r，θ）=0，電勢線函數族v（r，θ）=常數，即帶電體內無電場線，且是一個等勢體；r>r0時，由式（2.4.18）可知電場線函數族為常數，即電場線是通過原點的射線，而由式（2.4.19）可知等勢線函數族為r=常數，即等勢線為一系列的同心圓.這樣就得到了無限長均勻帶電圓柱面所產生的電場線族方程、等勢線族方程.

2.利用解析函數的性質計算平面靜電場的等勢線族方程

【例2.4.3】　已知一平面靜電場的電場線族是與虛軸相切于原點的圓族，試求等勢線族，并求此電場的復勢.

分析　欲求等勢線族和復勢，需要先計算電場線函數，電場線族的方程為

（x-c）2+y2=c2（c為不為零的常數）　　　（2.4.20）

容易認為電場線函數u（x，y）=（x-c）2+y2，但，即這樣的u（x，y）不是調和函數.由式（2.4.20）可得，故為使Δu=0，令

適當選擇F（t），使Δu=0，為此需要求u（x，y）的二階偏導數

　　（2.4.21）

　　　（2.4.22）

將式（2.4.21）和式（2.4.22）代入Δu=0得

顯然可以得到F″（t）=0，連續積分兩次可得F（t）=c1t+c2.于是

　　　（2.4.23）

利用柯西-黎曼條件，求v（x，y）.

利用全微分的定義得

利用湊微法可得

　　　（2.4.24）

由式（2.4.23）、式（2.4.24）可得復勢

其中，z0=c2+ic3.

通過以上分析可知利用平面靜電場的電場線族方程計算復勢的一般步驟，首先根據電場線族方程推導出實部u（x，y）=f（x，y）的一般形式，然后根據Δu是否等于零，判斷f（x，y）是否是解析函數的實部.若Δf（x，y）=0，說明f（x，y）是解析函數的實部；若Δf（x，y）≠0，說明f（x，y）并不是解析函數的實部，令t=f（x，y），u（x，y）=F（t）根據Δu=0確定實部u（x，y）的具體形式.最后利用柯西-黎曼條件計算虛部，最終就可以確定復勢.根據等勢線族方程計算復勢的步驟與上述類似.

平面靜電場與解析函數存在著一一對應關系，解析函數就是該平面靜電場的復勢.一般而言，任一既無源又無旋的平面矢量場，總可以構造一個解析函數，即復勢與之對應.若采用復勢來研究平面靜電場，不但形式緊湊，而且可使計算大為簡化.